Segundo octógono de Alcácer

A segunda construção de Paulo Correia que ele considera ao nível da geometria do 9º ano de escolaridade pode ser acedida, clicando na ilustração feita a partir dela. Escreveu ele, a este respeito: Neste serão octogonal, encontrei uma solução mais simples que consiste em reconhecer que o ângulo interno é de 90º+45º, a partir daí só com paralelas, perpendiculares e compasso, saí o resto... pois era mesmo para o 9º ano... :-)

Primeira construção de um octógono (dado o lado)
de Paulo Correia .

Primeiro octógono de Alcácer

Paulo Correia, de Alcácer do Sal, enviou-nos duas construções para o octógono regular, a partir do lado. Clicando sobre ilustração abaixo tem acesso à primeira construção (em Cinderella) de Paulo Correia. Ele disse o seguinte: (...) a solução não foi trivial para mim, por isso a envio: a azul as primeiras construções para determinar o centro da circunferência onde ficará inscrito o octogono, a vermelho as construções posteriores.

Primeira construção de um octógono
de Paulo Correia.

Do quadrado para octógono regular

Um octógono regular pode ser obtido a partir de um quadrado cortando-lhe quatro cantos rectangulares isósceles iguais. Como mostra a figura. Ao quadrado [JKLM], cortamos os triângulos isósceles iguais a [AIB] (ou [BJC], de hipotenusa [AB] dada para lado do octógono a construir. Se nos é dado o lado do octógono, qual é o lado do quadrado de que ele pode resultar por corte?

Para um octógono de raio 1, tomemos um quadrado de lado V2+1+V2.
Não! A nossa preferida não é esta. Não perdem por esperar.

Soluções com problema

Paulo Correia, de Alcácer do Sal, enviou-nos duas construções de octógno regular a partir do seu lado [já cá cantam 3 e ainda preferimos a nossa:-)] e uma interpretação para a construção da triangulatura do círculo acompanhada de um belo (geometer's)SKETCH(pad). De tudo daremos conta. Mas não adiamos mais a mensagem que desafia. Diz ele:
(...)Em terceiro lugar, uma sugestão de problema, para o qual não tenho resposta, mas que a intuição me diz existir - talvez até fácil...
"Dado um triângulo qualquer, construir um triângulo equilátero equivalente - com a mesma área." Depois podemos "triangular" um quadrado ou um quadrilátero qualquer...
Espero que lhe dê que pensar... julgo que gosta disso...
Tem razão o Paulo quando diz que gostamos de pensar e gostamos de quem de nós pensa sinceramente isso, dando-nos em que pensar. A nós e a todos os que vão passando por aqui. Obrigado, Paulo.
Confesso que escrevi triangulatura por causa da quadratura, mas nunca pensei na palavra para designar algo tão específico como determinar um triângulo regular equivalente a .... Ficamos a dever ao Paulo mais este acerto.

O octógono regular

É claro que todos sabemos inscrever um quadrado num círculo dado. E, por isso, todos sabemos construir o octógono regular inscrito num círculo dado.
O que estamos a propor para estudo é a construção de um octógono regular de que se conhece o lado. Há uma bela construção que precisa de conhecimentos básicos (os estudantes do 9º ano podem pensar sobre esta construção).