Simetria com compasso

"Usar o compasso e nada mais para determinar o simétrico de um ponto P relativamente a um eixo definido por dois pontos A e B"

Se quer fazer o exercício interactivo, clique aqui ou sobre a ilustração
e, depois de esperar um pouco, tente construir o simétrico de P.
Pode mover os pontos do exercício.
E pode, por exemplo, ver em que condições é que P é alinhado com A e B.
Pode começar a pensar como determinar (com compasso)
o simétrico de P relativamente a B, por exemplo.

Em IV. Construções geométricas (II) , Eduardo Veloso propôe esta construção entre outros exercícios. São perguntas publicadas em 1998, no âmbito do projecto Inovação no Ensino da Geometria on line que continua disponível no site da APM.
Transcrevo o texto de Eduardo Veloso, apelando a que (com o SketchPad, com o Cabri, com o CeR, com o Cinderella ou com a régua, o compasso, o lápis sobre papel) procurem resolver os problemas que ele coloca.

No fim do século XVIII - em 1797 - o matemático italiano Lorenzo Mascheroni, da Universidade de Pavia, publicou um tratado chamado A Geometria do Compasso, em que demonstrou o seguinte teorema:
Todos os problemas de construções geométricas resolúveis por meio de uma régua não graduada e de um compasso podem também ser resolvidas apenas com um compasso.
Evidentemente isto não quer dizer que se possam traçar rectas com um compasso. Nas construções feitas apenas com um compasso, considera-se determinada uma recta quando forem determinados dois dos seus pontos.
Até 1928 Mascheroni ficou com a honra de ter sido o primeiro a demonstrar este teorema. Nesse ano, no entanto, percebeu-se que tinha sido publicado em 1672, em Amsterdão, um livro - O Euclides Dinamarquês - em que G. Mohr demonstrava precisamente o mesmo resultado. Assim, com uma diferença de mais de um século, dois matemáticos tinham chegado independentemente a este mesmo resultado.
Utilize o Sketchpad para resolver, apenas com o auxílio do compasso, os problemas de construções geométricas que se seguem. Note que uma recta é dada, ou determinada, dando ou determinando dois dos seus pontos.

1. Construir o simétrico de um dado ponto relativamente a uma dada recta.
2. Dados os pontos A, B e C, verificar se o ponto C pertence à recta AB.
3. Dada uma recta definida por dois pontos, encontrar outros pontos sobre a mesma recta.
4. Dado um segmento AB, encontrar um segmento AC com o dobro do comprimento de AB. E encontrar um segmento com n vezes o comprimento de AB, com n natural.
5. Construir a intersecção de uma circunferência com uma recta.
6. Dada uma recta AB, determinar a perpendicular à recta AB passando por A.

antero'keeffe recuperado

Em busca de uma curva, Antero Neves chegou a outra.
Uma curva inesperada merece ser mostrada.
Aqui fica.

Houve quem pensasse em borboletas.
Eu pensei em Georgia O'Keeffe.

Golpe de asa

A asa envolvente.

[A.A.M.]
recuperação em geogebra

Tangentes exteriores a dois círculos

Quando aqui colocámos os primeiros problemas sobre circunferências e tangentes, deixámos para trás os problemas mais simples. A preocupação de então era apresentar problemas que interessassem estudiosos para recebermos retorno. Não nos podemos queixar. Só agora começámos a dar por algumas faltas nas publicações. Algumas construções tinham sido feitas para anteriores experiências mais ou menos falhadas. Em artigo anterior, colocámos exercícios interactivos para a construção da tangente a uma circunferência tirada por um ponto exterior. Hoje o problema é outro.

Problema: Temos duas circunferências de raios r e R e determinamos (com régua e compasso) rectas tangentes comuns às duas" Da antiga construção:
Nota prévia: na resolução em Cinderella, as linhas referentes aos dados estão a azul, as linhas referentes a construções estão a verde. Há duas tangentes externas e duas tangentes internas.
Temos duas circunferências de centros A (raio r) e B (raio R).
Em construção à parte, determinamos a diferença R-r.< br> Com centro em B, traçamos a circunf. de raio R-r. Traçamos a tangente a esta circunferência a partir de A: recta c; ponto de tangência: H.
Seja H' o ponto de intersecção de BH com a circunferência de centro B e raio R.
Por A tiramos a perpendicular a c; seja L o ponto de intersecção de AL com a circunferência de centro A e raio r.
A recta LH' (a preto) é uma das quatro tangentes pedidas.
E fica por resolver a determinação das tangentes interiores. Essa é a proposta.(*)

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Processo da reconstrução, usando Geogebra, feita pelo reconstrutor Aurélio Fernandes:
São dadas duas circunferências: uma de raio r=AD, outra de raio R=BE. Traçar as tangentes comuns às duas circunferências: exteriores e interiores.

[A.A.F]
1) Tangentes exteriores
- Tracemos a circunferência de centro B e raio R-r=BF.
- A partir de A, tracemos as tangentes à circunferências de centro B e raio BF: AH e AG. (Basta traçar a circunferência de centro no ponto média M ao segmento AB para obter H e G)
- Seja H’ o ponto de interseção de BH com a circunferência de centro B e raio R; e G´ o ponto de interseção de BG com a circunferência de centro B e raio R
- Finalmente por H’ traçamos uma paralela a AH e por G´ uma paralela a AG (retas a vermelho). São as tangentes exteriores pretendidas.

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Escrevia-se na entrada inicial:
(*) E fica por resolver a determinação das tangentes interiores. Essa é a proposta.
E [A.A.F.] aqui apresenta uma construção em resposta a essa proposta:
[A.A.F.]

Carta de Brigite Silva

Arsélio
(...) foi-nos apresentado o vosso Blog de Geometria, pelo que nos propusemos a pensar, discutir e resolver alguns dos problemas apresentados. Deste modo, estou a enviar-lhe (...) a minha proposta de resolução para um dos problemas que se encontra no vosso blog de geometria. Em anexo envio os ficheiros onde se encontra o enunciado do problema e o meu processo de construção. Para qualquer crítica, dúvida ou sugestão poderão contactar-me: Brigite Simões da Silva (III) Rectas e Circunferências

Problema:
Traçar uma circunferência de raio r dado que seja tangente a duas rectas concorrentes dadas.

Processo de construção:


[A.A.F]
reconstrói (em 16/02/2021 recorrendo a Geogebra)
a construção proposta por Brigite Silva que tinha sido feita em 2005 recorrendondo o Cinderella.

Pretendemos encontrar a circunferência tangente a duas rectas concorrentes, dado o seu raio.
São dadas duas rectas concorrentes a e b e o raio da circunferência r, que corresponde ao comprimento de [BE], construído para auxiliar a construção.
A circunferência que procuramos deve ter o seu centro a uma mesma distância das duas rectas, pelo que deverá pertencer à bissectriz do ângulo formado pelas rectas concorrentes no ponto A.
Sabemos que o centro C da circunferência terá que pertencer à bissectriz mas não sabemos a sua posição. Então comecemos por traçar a circunferência de centro A e raio r. De seguida tracemos uma recta perpendicular a a (ou a b) que passe por A, que designaremos por d. Seja D o ponto de intersecção da recta d com a circunferência traçada.
Como a distância entre quaisquer duas rectas paralelas é constante, traçando uma recta (denotada por e) paralela a a e que passe por D, asseguramos que a distância entre as duas é igual ao raio da circunferência que pretendemos traçar.
O centro C da circunferência que procuramos será a intersecção da recta e com a bissectriz do ângulo formado pelas rectas concorrentes.
Para determinar o ponto de tangência da circunferência procurada com a recta a, tracemos uma recta perpendicular a a que passe por C. O ponto de tangência será F.
Neste momento dispomos dos dados necessários para traçar a circunferência tão desejada, será ela a circunferência de centro C que passe por F.

Pedia-se finalmente:
Comente a construção de Brigite Silva.