GEOMETRIA

27.12.14

Pontos equidistantes a duas circunferência dadas - uma discussão

Na entrada anterior, tratámos de procurar as curvas que contêm o lugar geométrico dos pontos equidistantes de duas circunferências dadas,

$\;(O_1, \; r_1)\;$ e

$\;(O_2, \; r_2)\;$ , considerando que a distância de um ponto

$\;P\;$ a a uma circunferência

$\;(O, \;r)\;$ é dada por

$\;OP-r, \;$ no caso de $\;P\;$ ser exterior a $\;(O, \;r)\;$
$\;r-OP\;$ se $\;P\;$ for interior a $\;(O, \;r)\;$
$\;0\;$ se $\,P\;$ for um ponto de $\;(O, \;r)\;$

tendo concluído que os pontos

$\;P\;$ equidistantes das duas circunferências

$\;(O_1, \; r_1)\;$ e

$\;(O_2, \; r_2)\;$ satisfazem a condição: Os pontos

$\;P\;$ exteriores às duas circunferências e delas equidistantes satisfazem a condição

$\;O_1P -r_1= O_2P -r_2\;$ equivalente a

$O_1P - O_2P = r_1-r_2\; \mbox{ou}\; O_2P - O_1P = r_2 - r_1$ ou pontos de uma hipérbole de focos

$\;O_1, \; O_2\;$ com segmento de eixo transverso de comprimento

$\;|r_1 - r_2|\;$ que pode seguir-se na figura que transportámos para esta entrada.

António Aurélio Fernandes insistiu que devíamos discutir a figura, a existência de soluções, o lugar geométrico. Quando procuramos um lugar geométrico de pontos que satisfazem uma dada condição, isto é, um conjunto de pontos definido compreensivamente pela condição, temos de esclarecer que face a um dado ponto qualquer (da hipérbole, por exemplo) podemos dizer, sem dúvida, que ele pertence ou não pertence ao lugar geométrico e podemos esclarecer para que (definições e) condições é que o conjunto de pontos encontrados (a hipérbole) é o respetivo lugar lugar geométrico.

É óbvio que

$\;PL=PO_2-r_2 = PO_1 -r_1= PN\;$ e, para a definição considerada acima, P é um ponto equidistante das duas circunferências e da hipérbole.

Mas para o ponto

$\;S\;$ da hipérbole, é óbvio que

$\;SJ=SO_1-r_1 \neq SO_2 -r_2 =SW\;$ e, por isso,

$\;S\;$ não é um ponto equidistante das duas circunferências para a definição de distância de um ponto a uma circunferência acima estabelecida.
Podemos verificar rapidamente que há um ponto

$\;K\;$ de

$\;(O_1, \; r_1)\;$ e um ponto

$\;Z\;$ de

$\;(O_2, \; r_2)\;$ tais que

$\; SK=SO_1+r_1 = SO_2+r_2 = SZ \;$ e

$\;SO_2 + r_2 = SO_1 + r_1 \; \mbox{ou} \; SO_2-SO_1= r_2 -r_1\;$ e que é por isso que

$\;S\;$ é um ponto da hipérbole de focos

$\;O_1, \; O_2\;$ com segmento de eixo transverso de comprimento

$\;|r_1 - r_2|\;$

Essa hipérbole seria o lugar geométrico dos pontos equidistantes das duas circunferências se tivéssemos definido que um ponto

$\;X\;$ é equidistante das duas circunferências sempre que existirem

$\; X_1 \in (O_1, \; r_1). XO_1 , \; X_2 \in (O_2, \; r_2). XO_2\;$ tais que

$\;XX_1= XX_2\;$

Sabemos que a hipérbole de focos

$\;O_1, \; O_2\;$ com segmento de eixo transverso de comprimento

$\;|r_1 - r_2|\;$ é o lugar geométrico dos pontos

$\;P\:$ tais que

$\;|PO_1 - PO_2|=|r_1-r_2|,$ sendo que esta condição pode ser decomposta numa disjunção de várias, que a cada uma corresponde o seu conjunto de pontos (soluções) e que a reunião dos diversos conjuntos de pontos (soluções) dessas condições constituem a hipérbole.

GEOMETRIA

28.12.14

o décimo aniversário do GEOMETRIAS e a evolução regular da teia.

27.12.14

Pontos equidistantes a duas circunferência dadas - uma discussão