o décimo aniversário do GEOMETRIAS e a evolução regular da teia.

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©geometrias. 28 dezembro 2014, Criado com GeoGebra

Pontos equidistantes a duas circunferência dadas - uma discussão

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Na entrada anterior, tratámos de procurar as curvas que contêm o lugar geométrico dos pontos equidistantes de duas circunferências dadas,$\;(O_1, \; r_1)\;$ e $\;(O_2, \; r_2)\;$, considerando que a distância de um ponto $\;P\;$ a a uma circunferência $\;(O, \;r)\;$ é dada por

• $\;OP-r, \;$ no caso de $\;P\;$ ser exterior a $\;(O, \;r)\;$
• $\;r-OP\;$ se $\;P\;$ for interior a $\;(O, \;r)\;$
• $\;0\;$ se $\,P\;$ for um ponto de $\;(O, \;r)\;$

tendo concluído que os pontos $\;P\;$ equidistantes das duas circunferências $\;(O_1, \; r_1)\;$ e $\;(O_2, \; r_2)\;$ satisfazem a condição: Os pontos $\;P\;$ exteriores às duas circunferências e delas equidistantes satisfazem a condição $\;O_1P -r_1= O_2P -r_2\;$ equivalente a $$O_1P - O_2P = r_1-r_2\; \mbox{ou}\; O_2P - O_1P = r_2 - r_1$$ ou pontos de uma hipérbole de focos $\;O_1, \; O_2\;$ com segmento de eixo transverso de comprimento $\;|r_1 - r_2|\;$ que pode seguir-se na figura que transportámos para esta entrada.

António Aurélio Fernandes insistiu que devíamos discutir a figura, a existência de soluções, o lugar geométrico. Quando procuramos um lugar geométrico de pontos que satisfazem uma dada condição, isto é, um conjunto de pontos definido compreensivamente pela condição, temos de esclarecer que face a um dado ponto qualquer (da hipérbole, por exemplo) podemos dizer, sem dúvida, que ele pertence ou não pertence ao lugar geométrico e podemos esclarecer para que (definições e) condições é que o conjunto de pontos encontrados (a hipérbole) é o respetivo lugar lugar geométrico.

É óbvio que $\;PL=PO_2-r_2 = PO_1 -r_1= PN\;$ e, para a definição considerada acima, P é um ponto equidistante das duas circunferências e da hipérbole.

© geometrias, 17 de Dezembro de 2014, Criado com GeoGebra

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Mas para o ponto $\;S\;$ da hipérbole, é óbvio que $\;SJ=SO_1-r_1 \neq SO_2 -r_2 =SW\;$ e, por isso, $\;S\;$ não é um ponto equidistante das duas circunferências para a definição de distância de um ponto a uma circunferência acima estabelecida.
Podemos verificar rapidamente que há um ponto $\;K\;$ de $\;(O_1, \; r_1)\;$ e um ponto $\;Z\;$ de $\;(O_2, \; r_2)\;$ tais que $\; SK=SO_1+r_1 = SO_2+r_2 = SZ \;$ e $$\;SO_2 + r_2 = SO_1 + r_1 \; \mbox{ou} \; SO_2-SO_1= r_2 -r_1\;$$ e que é por isso que $\;S\;$ é um ponto da hipérbole de focos $\;O_1, \; O_2\;$ com segmento de eixo transverso de comprimento $\;|r_1 - r_2|\;$

Essa hipérbole seria o lugar geométrico dos pontos equidistantes das duas circunferências se tivéssemos definido que um ponto $\;X\;$ é equidistante das duas circunferências sempre que existirem $\; X_1 \in (O_1, \; r_1). XO_1 , \; X_2 \in (O_2, \; r_2). XO_2\;$ tais que $\;XX_1= XX_2\;$

Sabemos que a hipérbole de focos $\;O_1, \; O_2\;$ com segmento de eixo transverso de comprimento $\;|r_1 - r_2|\;$ é o lugar geométrico dos pontos $\;P\:$ tais que $$\;|PO_1 - PO_2|=|r_1-r_2|,$$ sendo que esta condição pode ser decomposta numa disjunção de várias, que a cada uma corresponde o seu conjunto de pontos (soluções) e que a reunião dos diversos conjuntos de pontos (soluções) dessas condições constituem a hipérbole.