Arbelos: Teorema de Pappus - demonstração usando inversão

Na entrada anterior, referimos um Teorema de Pappus relativo à chamada cadeia de Pappus, sequência de circunferências tangentes a duas circunferências dadas e cada uma delas tangente à que a precede e à que a sucede.
Na nossa construção, partimos de 3 pontos colineares $X, Y, Z$, e das circunferências de diâmetros $XZ$, $XY$ e $YZ$. A circunferência de centro $O_0$ é a circunferência de diâmetro $YZ$, seguida das circunferências de centros $O_1, O_2, O_3, \ldots O_n \ldots \; \;$ da cadeia.
O enunciado do Teorema de Pappus pode enunciar-se assim:
Sejam $X$, $Y$ e $Z$ três pontos colineares tais que $Y$ está entre $X$ e $Z$ e sejam as circunferências (na figura a violeta, amarelo torrado e azul topázio) de diâmetros $XZ$, $XY$, $YZ$. Os círculos $c_1, c_2, c_3, \ldots, c_n \ldots \;\;$ todos tangentes às semicircunferências violeta e amarelo torrado, com $c_1$ tangente ainda à semicircunferência azul topázio $c_0$ e à circunferência $c_2$; $c_3$ tangente a $c_2$ e $c_4$, etc, ... $c_n$ tangente a $c_{n-1}$ e a $c_{n+1}$. Se designarmos por $r_n$ o raio de $c_n$ e por $h_n$ a distância de $O_n$ a $XZ$ , então
$$h_n=2nr_n$$ Na figura destacámos a negro $c_2$ para ilustrar este resultado para o qual $h_2= 2\times 2 \times r_2$.

fotografia de construção *.cdy a ser substituída por construção interactiva *.ggb, logo que possível
A demonstração, com recurso à inversão, é feita com toda a generalidade.

1. Consideremos a inversão relativa à circunferência de centro $X$ e raio $t_n$ em que $t_n$ é o comprimento da tangente a $c_n$ tirada por $X$ (no caso da nossa ilustração: circunferência de centro $X$ e raio $t_2$ em que $t_2 =XT_2$ sendo $T_2$ o ponto de tangência da tangente a $c_2$ tirada por $X$ ).
2. Fazemos isso, porque $XT_n$ é perpendicular a $O_nT_n$, sendo $XT_n$ tangente a $c_n$ e $O_nT_n$ tangente à circunferência de inversão e, por isso, $c_n$ ser ortogonal à circunferência de inversão. As circunferências ortogonais à circunferência de inversão são inversas de si mesmas.
   Pela inversão $I(X, t_n ^2)$ a inversa de $c_n$ é $c_n$.
3. As inversas das circunferências de diâmetros $XZ$ e $XY$ são retas, já que elas passam por $X$, centro da inversão. Estas retas ficam definida pelos pontos de interseção dessas circunferências com a circunferência de inversão.
4. A inversa da circunferência de centro $O_0$ (diâmetro $YZ$) é uma circunferência tangente às duas retas, determinadas como inversas das circunferências de diâmetros $XZ$ e $XY$ de centro $K_n$ colinear com $X$, $Y$, $Z$ e $O_0$(no caso da nossa ilustração, trata-se da circunferência de centro $K_2$ e raio=$O_2T_2$). Tanto $O_n$ como $K_n$ estão sobre perpendicular equidistante das retas correspondentes, pela inversão, às circunferências de diâmetros $XZ$ e $XY$ e por isso os seus raios são iguais a $O_nT_n$.
5. O raciocínio feito para a inversa de $c_0$ serve para as circunferências $c_1$, $c_2$, $c_{n-1}$ que são tangentes às duas circunferências originais, tendo inversas $c'_i, \;\; 0\leq i\leq n$ tangentes a essas retas obtidas como inversas das originais. Todas essas inversas têm o mesmo raio $O_nT_n$.
6. Para além de serem tangentes a essas retas inversas cada uma delas $c'_i$ deve ser tangente a $c_{i-1}$ e a $c_{i+1}$. No caso da nossa ilustração $c'_1$ é tangente a $c'_0$ e a $c'_2=c_2$ e, por isso, $h_2$ ou $O_2K_2$ é igual à soma de um raio de $c'_0$ + 2 raios de $c'_1$ + 1 raio de $c'_2$, no total $4r_2$
7. Para $d_n$, teremos 1 $r_n$ para $c'0$ e outro para $c'_n = c_n$ para além de $2(n-1) r_n$ correspondentes aos diâmetros de $n-1$ circunferências iguais a $c_n$, $c'_i, \; \; 1\leq i\leq n-1$: $2+2(n-1).r_n= 2nr_n=d_n \hspace{1cm} \square$

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Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992

Construir uma cadeia de Pappus usando uma inversão

Antes da demonstração do teorema de Pappus, sobre uma propriedade da cadeia de Pappus (arbelos, faca de sapateiro), publicamos uma construção da cadeia de Pappus, recorrendo à inversão, proposta por Mariana Sacchetti.
Na nossa construção, partimos de um segmento $XZ$, a ser percorrido por um ponto $Y$, circunferências de diâmetros $XZ$, $XY$ e $XZ$. Depois determinamos, com a ajuda de uma inversão, as circunferências da cadeia, tangentes às referidas de diâmetros $XZ$ e $XY$ e cada uma delas tangente ainda a duas da cadeia.

Para construir a cadeia, Mariana propôe uma inversão relativa a uma circunferência com centro em $X$ e raio $XZ$.
Por essa inversão, $I(X,XZ^2)$, as inversas das circunferências de diâmetros $XZ$ e $XY$ que passam pelo centro $X$ de inversão, são retas. A inversa da circunferência de diâmetro $XZ$ tem o ponto $Z$ sobre a circunferência de inversão e, por isso, passa por $Z$.
Assim, as circunferências da cadeia têm inversas tangentes às inversas das cirucnferências de partida. Como cada uma delas temm ainda de ser tangente a duas outras da cadeira, as suas inveersas empilham-se entre as retas inversas das circunferências de partida, cada uma tangente a essas retas e tangentes às vizinhas, como bem ilustra a construção.
As circunferências da cadeia são obtidas por inversão, $I(X, XZ^2)$, aplicada às circunferências da pilha sequencial entre retas.