Plano inversivo. A inversão é uma involução do plano inversivo:-)

Notas: noção e notação de inversão e determinação do inverso com recurso ao teorema de Thales

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Temos vindo a utilizar a inversão em várias ocasiões. Muitas vezes para resolver problemas em que a passagem de circunferências para retas ou viceversa ajuda a encontrar as soluções.De passagem, já nos referimos várias vezes à definição e a propriedades da inversão e a métodos geométricos de encontrar o inverso de ponto, reta ou círcunferência, caso a caso, e, em várias ilustrações, já recorremos ao modo de transformação (ou macros) do Cinderella ou do Geogebra. Não nos preocupámos com o domínio da inversão como transformação, embora tenhamos tido alguns cuidados e referido restrições, em especial, para as construções só com compasso (ou só com circunferências).
Voltemos à definição.
Se $P$ não é o centro $O$ de uma dada circunferência de raio $r$, o inverso de $P$ em, ou relativamente a essa circunferência, é um ponto $P'$ da reta $OP$ tal que $$\overline{OP}\times \overline{OP'}=r^2\; .$$ À circunferência de centro $O$ e raio $r$ chama-se circunferência de inversão, ao ponto $O$ chama-se centro de inversão, a $r$ chama-se raio de inversão e a $r^2$ chama-se potência de inversão. Para a inversão de centro $O$ e potência $k>0$ usamos a notação $I(O,k)$.
Desta definição de $I(O,r)$, decorre que a cada ponto $P$ do plano, distinto de $O$, corresponde um único inverso $P'$ e que, se $P'$ é o inverso de $P$ também $P$ é o inverso de $P'$. Como não há correspondente do centro $O$ de inversão, $I(O,r)$ não é uma transformação do conjunto de todos os pontos do plano em si mesmo.
Também é verdade que fica estabelecida uma correspondência, um a um, entre os pontos do interior da circunferência (distintos de $O$) e os pontos do exterior da circunferência de inversão; que cada ponto da circunferência de inversão é inverso de si mesmo e que o conjunto dos pontos (distintos de $O$) de uma reta que passe por $O$ é imagem de si mesmo (no seu todo e não ponto a ponto, só os pontos da circunferência são inversos de si mesmos).
A construção que se segue, da inversão $I(O,9)$, pretende ilustrar isso mesmo. Pode deslocar $P$, assumindo qualquer posição do plano para acompanhar o que acontece nas diferentes posições.

Nesta construção, determinamos os inversos dos pontos $P$ por $I(O,9)$, com recurso ao teorema de Thales (ou a triângulos semelhantes)

1. Começámos por tomar a reta $OP$ que interseta a circunferência em $A$ — $\overline{OA}=3$
2. Tiramos pelo ponto $O$ uma outra reta qualquer, distinta de $OP$, e chamámos $B$ ao seu ponto sobre a circunferência de inversão — $\overline{OB}=3$
3. Traçada a reta $PB$, por $A$ tirámos uma paralela a $PB$ e chamámos $C$ à interseção desta com $OB$. Resulta, da semelhança dos triângulos $[OPB]$ e $[OAC]$, $$\frac{\overline{OP}}{\overline{OB}}=\frac{\overline{OA}}{\overline{OC}} \;\;\; \mbox{ou}\; \;\; \overline{OP}\times \overline{OC} = \overline{OA} \times \overline{OB}=9$$.
4. $P'$ será o ponto de $OP$ tal que $\overline{OP'}=\overline{OC}$

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Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992