Experiência interativa: Ponto de intersecção de cónica com reta

Depois da experiência interativa da entrada anterior, podemos propor uma experiência dual, claro.
Onde dávamos cinco retas para definir uma cónica (o polígono circunscrito à cónica), aqui damos cinco pontos sobre a cónica (o polígono inscrito na cónica). Onde pedíamos o ponto de tangência de uma das retas (ou lados), aqui pedimos uma reta tangente num dos vértices. E, quem resolver um deles, pode resolver o outro usando o mesmo processo. Onde escrevíamos A, escrever a, e onde estava a.b, escrever AB, ...
Bom trabalho.

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1. Antes das ferramentos de marcação de pontos e traçado de retas por dois pontos, aparece uma ferramenta para deslocar elementos
2. Os passos dados usando as ferramentas disponíveis:
   • [a, "Um dos lados do polígono inscrito, sim"],p.ex. AB
   • [b,"Claro que todos os lados interessam"], BC,
   • [d,"Um lado do polígono inscrito"],CD,
   • [e, "Um lado do polígono inscrito"],DE,
   • [F, "Intersetar pares de lados sem vertices comuns"],AE.ED
   • [G, "Intersetar lados sem vértices comuns, claro"], ED.BC
   • [f, "Reta onde se encontram esses lados (opostos?)"], FG
   • [S,"Onde o lado AB encontraria um lado oposto, se tivessemos um hexágono ABCDDE"], S
   • [s, "s=SD é a tangente em D (DD oposto a AB)- Parabéns! "], DS - a tangente em D: DD ];

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H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994

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Teorema da Borboleta e ponto invariante da involução de Desargues

S. Schuster fixou o seguinte resultado:
Sejam P, Q, R, S, T cinco pontos, dos quais não há há três colineares. Então há uma cónica que passa pelos seis pontos A=QR.PS, B=RP.QS, C=PQ.RS
A'=QR.PT, B'=RP.QT, C'=PQ.RT

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

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A, B e C são intersecções de lados opostos de PQRS e A', B' C' são intersecções de lados opostos de PQRT. Ou seja, ABC é o triângulo diagonal do quadrângulo PQRS e A'B'C' é o triângulo diagonal de PQRT. Por isso, ABC e A'B'C' são dois triângulos auto-polares, em que nenhum dos vértices de qualquer deles incide em qualquer dos lados do outro. O resultado da entrada anterior garante que há uma só cónica a passar pelos seis vértices desses dois triângulos.

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H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994