Um grupo de simetria gerado por uma só translação associada a um vetor

Do mesmo modo que apresentámos uma rosácea com repetições segundo direções diferentes em torno de um ponto e igualmente espaçadas de uma amplitude angular, na construção seguinte apresentamos uma figura onde podemos observar um padrão de repetições segundo uma determinada direção. Um determinado vetor dá-nos a direção das repetições e o espaçamento (em comprimento) entre as repetições.
Clique sobre o botão 'vector' para ver o vetor u associado à translação t geradora do grupo de simetrias da figura. Pode clicar sobre o botão 'deslocar para ver' que lhe permite verificar que o grupo de simetrias é constituído por um número infinito de isometrias (no caso, translações) todas diferentes, a saber t, t.t=t², t³, .... e a inversa de t, associada ao vector -u com comprimento e direção de u no sentido contrário, t^-1 bem como produtos t^-2, t^-3, t^-4... Observe-se que t².t² =t⁴, t^-1.t^-2=t^-3 ou t⁵.t^-1= t⁴,




Nas classificações de frisos, usamos p para indicar a periódica repetição segundo uma só direção.
O conjunto de simetrias deste friso é {tⁿ|n∈Ζ}, que frequentemente aparece classificado como p111

Grupos de simetria: dos finitos aos infinitos

Abordámos antes as rosáceas ou grupos de simetria de Leonardo: com um número finito de elementos ou isometrias: reflexões, rotações e suas compostas (ou produtos). Temos claro que duas isometrias do plano são a mesma quando cada ponto do plano tem a mesma imagem para as duas isometrias. Por exemplo, a imagem de um ponto A do plano por uma rotação de centro O e amplitude 45 graus é a mesma que se obtém aplicando uma rotação de centro O e amplitude -315 graus ou a mesma para uma rotação de 360+45, 720+45, ... graus.

Podemos imaginar que as rosáceas têm motivos repetidos indefinidamente, embora sejam finitas as realizações naturais que conhecemos. As isometrias que transformam uma figura (ilustrativa de uma rosácea) nela mesma são em número infinito? São claro. Eu posso aplicar uma rotação de um número indeterminado de voltas (um número infinito de vezes?) a uma figura, obtendo sempre como imagem a figura de que parto. Mas o grupo de simetrias de qualquer rosácea é finito. Por exemplo o grupo cíclico de ordem 3 (da primeira rosácea apresentada) é gerado por uma rotação g de amplitude 120 graus. O produto ou composição g.g ou g² da rotação de 120 graus de centro dado é uma isometria diferente de g já que a imagem A' de um ponto A qualquer do plano por uma rotação de 120 graus não é a mesma que se obtém por uma rotação g.g ( que roda a imagem A' de A por g de 120 graus, obtendo A''≠A'): aplicar g.g a A corresponde a uma rotação de 240 graus. Do mesmo modo, g³≠g²≠g. Mas sabemos que g³ é a identidade que a qualquer ponto A faz corresponder A e sabemos que g⁴=g, etc. Como sabemos que g³ é a identidade e que g² neutraliza a acção de g, já que g.g²=g².g=g³= Id., o grupo cíclico C₃ é constituído por {Id, g, g²}. Os grupos cíclicos C_n têm n elementos (isometrias diferentes) e os grupos diedrais D_n que jogam com uma reflexão s e uma rotação têm 2n elementos (isometrias diferentes).

No caso das rosáceas, há um ponto invariante. Mas as direcções em que se dispõem os motivos que se repetem varia. Vamos abordar, em seguida, os casos dos grupos de simetria dos frisos que nos dão a ver repetições (periódicas - igualmente espaçadas) de algum motivo segundo uma dada direcção. Estes grupos de simetria têm uma infinidade de repetições do motivo, têm uma infinidade de isometrias diferentes, obrigatoriamente têm translações associadas a vectores com a direção em que as repetições acontecem. Estas translações (vetor não nulo) transformam cada ponto de uma reta com a tal direção do friso, num outro ponto da mesma reta. A imagem de tal figura reta é ela mesma, portanto, sem que qualquer ponto se mantenha invariante pela translação.