Napoleão revisitado

1. Os centros dos triângulos [GHI] e [XYZ], externo e interno de Napoleão, coincidem com o centro do triângulo inicial [ABC].


2. A diferença entre as áreas dos triângulos[GHI] e [XYZ], externo e interno de Napoleão, é igual à área do triângulo inicial[ABC].

Na construção que se segue, pode sempre movimentar os pontos A, B e C e confirmar estas propriedades.

[A.A.F.]

Teorema de Napoleão

Se tomarmos triângulos equiláteros sobre os lados de um triângulo qualquer, os centros desses triângulos equiláteros são vértices de um triângulo equilátero.

Na construção dinâmica que se segue, construíram-se triângulos equiláteros [BCD], [ACE] e [ABF]. O triângulo [GHI] é equilátero.
Do mesmo modo, é equilátero o triângulo [XYZ] em que X é o centro de [BCT], Y é o centro [ACU] e Z é o centro de [ABV]-



[A.A.F.]

Pode movimentar A, B ou C e ver como a propriedade persiste. Tem interesse ver o que acontece quando A, B e C ficam alinhados ou quando dois destes pontos coincidem.