[A.A.F.]
Não deixe de tentar demonstrar... ▀
13.3.21
A relação da distância entre circuncentro e incentro de um triângulo dado com os circunraio e inraio.....
[A.A.F.]
Não deixe de tentar demonstrar... ▀
9.3.21
Dobras de um canto com uma dada área.
Imagine que o primeiro quadrante do plano Oxy é um folha de papel gigante. Fixe uma constante k e imagine que o canto em (0,0) é dobrado para um ponto P da folha de tal modo que o triângulo da dobragem tem área k. Descreva o conjunto dos pontos que podem ocorrer como P.
► Clique no botão a que chamámos "auxiliares"
Chamamos Q e R aos dois outros vértices do triângulo da dobragem que leva O para P. E designamos por S o ponto de interseção de OP com RQ. Como os ângulos em O e em P são iguais e retos, RQ é o diâmetro da circunferência que passa por Q,P,R,O.
P obtém-se como imagem de O por uma meia volta em torno de QR, ou dito de outro modo, para cada Q e cada R, há um P imagem O por simetria de eixo QR. OQ = QP, OS = SP, OR = RP.
© geometrias, 8 dezembro 2015, Criado com GeoGebra
A área do triângulo PQR é dada por QR ╳ OP / 2 ou por QP ╳ PR / 2.
Designemos por (x, y) as coordenadas cartesianas de P: x=OQ, y=OR e por (ρ, θ) as coordenadas polares de P: ρ = OP =2 ∙ SP, θ =∠ QÔP.
No caso da nossa construção, atribuímos o valor 3 a k e a condição do problema que P deve satisfazer é, pelo que vimos, x ∙ y = 6.
Como OS ⊥ QR , do triângulo Δ OSQ, retângulo em S, tiramos OS / OQ = cos(θ) ou ρ / 2 = x.cos(θ).
Também o triângulo [RSO] é retângulo em S e RÔS = π / 2 - θ e ρ / 2=y.cos(π / 2 - θ) ou ρ / 2 = y.sen(θ) .
De ρ = 2x.cos(θ) e ρ=2.sen(θ) podemos concluir que ρ2 = 4xy.sen(θ). cos(θ) ou, por ser 2. sen(θ).cos(θ) = sen(2θ), e xy = 2k (no nosso caso 6), podemos concluir que o lugar geométrico dos pontos P(ρ , θ) tais que os triângulos (QPR) de dobragem têm área k constante satisfazem a seguinte equação
ρ 2 = 4k. sen(2 θ)
que é a equação de uma curva chamada lemniscata (meia lemniscata no nosso caso por serem x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 restrições consideradas no enunciado do problema.)
Pode ver o lugar geométrico -- meia lemniscata -- clicando no botão "lugar geométrico dos P" ao fundo direito na figura. E pode deslocar Q para ver o ponto P descrever a curva desenhada a vermelho. É claro que, considerado que P(x, y): xy=2k e deixando livre Q(x, 0) o pontoR (0, y) é dele dependente:y= 2k / x◾.
► Clique no botão a que chamámos "auxiliares"
Chamamos Q e R aos dois outros vértices do triângulo da dobragem que leva O para P. E designamos por S o ponto de interseção de OP com RQ. Como os ângulos em O e em P são iguais e retos, RQ é o diâmetro da circunferência que passa por Q,P,R,O.
P obtém-se como imagem de O por uma meia volta em torno de QR, ou dito de outro modo, para cada Q e cada R, há um P imagem O por simetria de eixo QR. OQ = QP, OS = SP, OR = RP.
© geometrias, 8 dezembro 2015, Criado com GeoGebra
A área do triângulo PQR é dada por QR ╳ OP / 2 ou por QP ╳ PR / 2.
Designemos por (x, y) as coordenadas cartesianas de P: x=OQ, y=OR e por (ρ, θ) as coordenadas polares de P: ρ = OP =2 ∙ SP, θ =∠ QÔP.
No caso da nossa construção, atribuímos o valor 3 a k e a condição do problema que P deve satisfazer é, pelo que vimos, x ∙ y = 6.
Como OS ⊥ QR , do triângulo Δ OSQ, retângulo em S, tiramos OS / OQ = cos(θ) ou ρ / 2 = x.cos(θ).
Também o triângulo [RSO] é retângulo em S e RÔS = π / 2 - θ e ρ / 2=y.cos(π / 2 - θ) ou ρ / 2 = y.sen(θ) .
De ρ = 2x.cos(θ) e ρ=2.sen(θ) podemos concluir que ρ2 = 4xy.sen(θ). cos(θ) ou, por ser 2. sen(θ).cos(θ) = sen(2θ), e xy = 2k (no nosso caso 6), podemos concluir que o lugar geométrico dos pontos P(ρ , θ) tais que os triângulos (QPR) de dobragem têm área k constante satisfazem a seguinte equação
Pode ver o lugar geométrico -- meia lemniscata -- clicando no botão "lugar geométrico dos P" ao fundo direito na figura. E pode deslocar Q para ver o ponto P descrever a curva desenhada a vermelho. É claro que, considerado que P(x, y): xy=2k e deixando livre Q(x, 0) o pontoR (0, y) é dele dependente:
. Don't Cut Corners — Fold them
Suppose the first quadrant of the x-y plane is a giant sheet of paper. Fix a constant K and imagne that the corner at (0;0) is folded over onto a point P on the sheet in such a way that the triangle folded over has area k. Describe the set of ponts that can occur as P.
Konhauser, J.D.E; Velleman, Dan; Wagon, Stan. Which way did the bicycle go? . and other intriguing mathematical mysteries. Dolciani mathemetical Expositions - o 18, Mathematical Association of America: 1996.
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