GEOMETRIA

15.1.19

Intersecção de uma recta AB com uma circunferência C(D) (C em AB, recurso a compasso só)

Vamos retomar o problema da entrada anterior no caso em que

$\;C \in AB\;$ . Ou seja:
Usando só o compasso moderno, vamos realizar uma construção dinâmica adequada ao problema de

determinar os pontos de intersecção de uma reta que passa por dois pontos dados

$\;A, \; B\;$ com uma circunferência de que são dados o centro

$\;C,\;$ incidente em

$\;AB,\;$ e um dos seus pontos

$\;D.\;$

$\;\fbox{1}:\;$ Dados

$\;A, \;B$ da recta a que também pertence

$\;C\;$ centro de uma circunferência que passa por

$\;D\;$ dados.

$\;\fbox{2}:\;$ Com compasso desenhamos as circunferências

$\;(C,\;D)\;$ e

$\;(A,\;D)\;$ que se intersectam em

$\;D, \;E. \;$
Como

$\;\overline{AD}=\overline{AE},\;\; A\;$ é um ponto da mediatriz de

$\;[DE].\;$
Como

$\;D\;$ e

$\;E\;$ também estão na mesma circunferência de centro

$\;C, \;$ este também é um ponto da mediatriz de

$\;[DE].\;$ Se os 3 pontos

$\;A, \;B, \;C\;$ são colineares, podemos concluir que AB é a mediatriz de

$\;[DE].\;$

$\;\fbox{3}:\;$ Com o compasso, construímos as circunferências

uma de centro $\;C\;$ e raio $\; \overline{DE}\;$ e
outra de centro $\;E\;$ e raio $\overline{CD}\;$

e guardemos o ponto

$\;G\;$ da intersecção das duas, quarto vértice de

$\;[DCEG]\;$

$\;\fbox{4}:\;$ Simetricamente guardemos o ponto

$\;F\;$ da intersecção

$\;(C, \;\overline{DE}).(D,\; \overline{DC}),\;$ quarto vértice de

$\;[DCEF]\;$

$\;\fbox{5}:\;$ As circunferências

$\;(F, \; \overline{FE})\;$ e

$\; (G, \; \overline{GD})\;$ intersectam-se em dois pontos, um deles

$\;H,\;$ assinalado na figura.

$\;\fbox{6}:\;$ Finalmente

$\;(F, \; \overline{CH}).(C,\; \overline{CD}) =\{J,\; K \}\;$ ou

$\; =(G, \; \overline{CH}).(C,\; \overline{CD})\;$ dão-nos os pontos da intersecção

$\;AB . (C, \overline{CD})\;$

14.1.19

Compasso moderno: Intersecção de uma circunferência com uma recta.

Voltamos a problemas de construção para serem resolvidos com ferramentas previamente definidas.
Quatro pontos

$\;A,\; B, \;C, \;D\;$ chegam para definir uma reta

$\;AB\;$ por exemplo, e uma circunferência de centro

$\;C\;$ que passa por

$\;D.\;$
O enunciado do problema desta entrada, é, considerando que o centro

$\;C\;$ da circunferência não incide na recta

$\;AB,\;$ o seguinte:

determinar os pontos de intersecção da reta $\;AB\;$ com a circunferência $\;(C,\; \overline{CD}),\;$ usando só o compasso moderno.

Clicando nos botões da barra ao fundo do rectângulo de visualização:

$\;\fbox{2}\;:\;$ Determinamos o ponto

$\;E\;$ tal que

$\;\overline{AC}= \overline{AE} \wedge \overline{BC}= \overline{BE}$ ou seja que é a intersecção

$\; (A,\; \overline{AC}).(B, \;\overline{BC}).$

$\; \fbox{3}\;:\;$ Os pontos

$\;F\;$ e

$\;G\;$ obtidos como intersecção de

$\;(C, \;\overline{CD})\;$ com

$\;(E, \;\overline{CD})\;$ são pontos equidistantes de

$\;C\;$ e de

$\;E :\;$ e são pontos da mediatriz de

$\;[CE]\;$

$\; \fbox{4}\;:\;$ Como já tínhamos visto em

$\;\fbox{2}\;:\;$ também

$\;E, \;C\;$ estão à mesma distância de

$\;A\;$ por estarem na circunferência de centro

$\;A\;$ e raio

$\;\overline{AC},\;$ ou seja

$\;A\;$ é um ponto da mediatriz de

$\;[CE].\;$ E, por igual razão,

$\;B\;$ também é um ponto dessa mediatriz.
Concluindo:

$\;F\;$ e

$\;G\;$ são colineares com

$\;A\;$ e

$\;B\;$ e simultaneamente são pontos da circunferência

$\;(C, \overline{CD})\;$
Este processo só resolve o problema se

$\;C\;$ - o centro da circunferência - não estiver na reta

$\;AB\;$ ou seja, não for colinear com

$\;A, \;B. \;$

Howard Eves. Fundamentals of Moderno Elementary Geometry.Jones and Bartlett Publishers. Boston:1992.