Construção do 9º lugar geométrico

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O 9º lugar geométrico da lista foi assim enunciado IX. O lugar geométrico dos pontos para os quais a soma dos quadrados das distâncias a dois pontos dados é uma constante é uma circunferência de centro no ponto médio do segmento de reta definido pelos dois pontos dados.

1. Na anterior entrada, transcrevemos a proposta de H. Eves para a construção deste lugar geométrico. Assim
   • Tome-se a reta que passa pelos pontos $A, B$ dados. Num dos extremos, por exemplo $A$, construa-se um ângulo de 45º.
   • Com centro no outro extremo $B$, constrói-se uma circunferência de raio $k$ dado que, nas condições de existência do lugar geométrico $\displaystyle k >AB.\frac{\sqrt{2}}{2}$, interseta em dois pontos o segundo lado do ângulo de 45º em $B$.
   • A projeção ortogonal destes dois pontos sobre $AB$ são os extremos do diâmetro da circunferência de centro em $M$ e raio $\displaystyle \sqrt{\frac{k^2}{2} - \frac{AB^2}{4}}$.
   A figura que se segue, procura ilustrar e demonstrar essa proposta de determinação, por construção geométrica, dos elementos definidores do lugar geométrico, a saber $M, K, L$.

   © geometrias, 20 de Fevereiro de 2014, Criado com GeoGebra

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2. Já vimos na anterior entrada que o lugar geométrico dos pontos $P$ tais que $PA^2+PB^2=k^2$ é a circunferência de centro em $M$, ponto médio de $AB$ que pode ser definida pela equação em $P$: $\displaystyle PM^2 = \frac{k^2}{2} - \frac{AB^2}{4}$ que se pode escrever $\displaystyle PM^2 = \frac{k^2}{2} - BM^2$, por ser $AB=2BM$, ou ainda $\displaystyle PM^2+ MB^2 = \frac{k^2}{2}$
3. Assim, o raio $PM$ da circunferência dos pontos $P$ para os quais $PA^2+PB^2 =k^2$ pode ser obtido como um cateto de triângulo retângulo em $M$ de que o outro cateto é $BM$ e a hipotenusa é $\displaystyle \frac{k}{\sqrt{2}}$
4. Ora $\displaystyle \frac{k}{\sqrt{2}}$ é quanto mede o lado do quadrado de diagonal $k = BE$ raio da circunferência de centro em $B$, sendo $E$ um dos pontos de interseção da circunferência de raio $K$ com o segundo lado do ângulo de 45º em $A$. Um ponto $P$ do lugar geométrico obtém-se sobre a perpendicular a $AB$ tirada por $M$, extremo do lado $BP$ do quadrado de diagonal $k=BE$.
   $$MK=ML=PM : PM^2 + BM^2= \left(\frac{k}{\sqrt{2}}\right)^2$$
5. $PM\parallel GDK \parallel EFL$ :
   Projetam-se ortogonalmente sobre $AB$, da corda D$E$ da circunferência $(B, k)$, $D$ em $K$, $E$ em $L$ e o ponto médio de $DE$ em $M$ ponto médo de $AB$. Do mesmo modo, por simetria, para a corda $FG$ da circunferência $(A,k)$.

O 9º lugar geométrico da lista: P tais que PA2+PB2=k2

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O 9º lugar geométrico da lista foi assim enunciado
IX. O lugar geométrico dos pontos para os quais a soma dos quadrados das disâncias a dois pontos dados é uma constante é uma circunferência de centro no ponto médio do segmento de reta definido pelos dois pontos dados.

Para ilustrar este lugar geométrico, apresentamos a seguir os passos da construção e demonstração.

1. Temos como dados um comprimento $k$, e dois pontos $A$ e $B$. Para determinar algum ponto $P$ tal que $PA^2+PB^2=k^2$, começamos por construir um triângulo retângulo em $P_O$ de hipotenusa $k=A_0B_0$. Com centro em $A$ e raio $A_0P_0$ desenhamos uma circunferência e com centro $B$ e raio $B_0P_0$ outra. Um ponto $P$ de interseção destas duas circunferências, caso exista, verifica a condição $PA^2+PB^2=k^2$ de definição do 9º lugar geométrico
2. o botão de animação ligado a $P_0$ variável dá uma sugestão sobre qual será o conjunto dos pontos que procuramos - pelos traços de $P$ e $Q$.

   © geometrias, 14 de Fevereiro de 2014, Criado com GeoGebra

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   Deslocando manualmente $P_0$ ou clicando no botão de animação, obtemos um grande conjunto de pontos $P$ do 9º lugar geométrico, e a sugestão de que todos eles estarão sobre uma circunferência de diâmetro sobre a reta $AB$.
   Para voltar ao desenho original clique no botão da direita ao cimo da janela.
3. Que a nossa conjetura feita a partir da observação é correta pode ver-se assim:
   • Para qualquer triângulo $PAB$, sabemos que $2\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$, temos $4 \overrightarrow{PM}^2= \overrightarrow{PA}^2 + \overrightarrow{PB}^2 + 2\overrightarrow{PA}.\overrightarrow{PB}$.
     Ora, como $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PA}$, calculando o quadrado escalar de $\overrightarrow{AB}$, temos
     $\overrightarrow{AB}^2 = \overrightarrow{PB}^2+\overrightarrow{PA}^2 - 2\overrightarrow{PB}.\overrightarrow{PA}$ ou $2\overrightarrow{PB}.\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{PB}^2+\overrightarrow{PA}^2 - \overrightarrow{AB}^2$
     E, assim, temos $\;\; 4 \overrightarrow{PM}^2= \overrightarrow{PA}^2 + \overrightarrow{PB}^2 +\overrightarrow{PB}^2+\overrightarrow{PA}^2 - \overrightarrow{AB}^2\;\;$ ou $\quad \quad{ \displaystyle PA^2+PB^2=2.PM^2+ \frac{AB^2}{2}}$
   • No caso de $P$ verificar a condição $PA^2+PB^2 = k^2$, $$k^2= 2. PM^2+\frac{AB^2}{2} \;\;\; \mbox{ou} \;\;\; PM^2 = \frac{k^2}{2}- \frac{AB^2}{4}$$
     Vimos assim que para os dados $k, A, B$, os pontos $P$ para os quais $PA^2+PB^2=k^2$, quando existem, estão sobre a circunferência   "$PM^2 = \displaystyle \frac{k^2}{2}- \frac{AB^2}{4}$" , de centro $M$ e raio $\displaystyle \sqrt{\frac{k^2}{2}- \frac{AB^2}{4}}$.
4. Seja $P$ um ponto qualquer do círculo de centro "$M$ e raio $\displaystyle \sqrt{\frac{k^2}{2}-\frac{AB^2}{4}}$, para $A, B, k$ dados.
   • Se $P, A, B$ não são colineares, $PAB$ é um triângulo e como vimos antes, sendo $M$ o ponto médio de $AB$, então $\displaystyle PA^2+PB^2 = 2.PM^2 + \frac{AB^2}{2}$ e, sendo $P$ um ponto da circunferência considerada acima, o raio $PM$ é tal que $\displaystyle PM^2 = \frac{K^2}{2} - \frac{AB^2}{4}$, de onde se pode concluir que $$PA^2+PB^2 = 2. \left(\frac{k^2}{2} -\frac{AB^2}{4}\right) + \frac{AB^2}{2}= k^2$$ Ou seja $P$ é um ponto do lugar geométrico.
   • Se $P$ é um dos pontos em que a reta $AB$ encontra a circunferência de centro $M$ e raio $\displaystyle \sqrt{\frac{k^2}{2}-\frac{AB^2}{4}}$, como $$\overrightarrow{PA^2}+ \overrightarrow{PB^2}=(\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MA})^2 + (\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MB})^2=\overrightarrow{PM}^2+\overrightarrow{MA}^2 + 2.\overrightarrow{PM}.\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{PM}^2+\overrightarrow{MB}^2 + 2.\overrightarrow{PM}.\overrightarrow{MB}$$ $\overrightarrow{MA} = -\overrightarrow{MB}, AM=BM, 2.AM=AB, 2.AM^2=AB^2$,
     $PA^2 + PB^2 = 2.PM^2+ 2.AB^2 = 2(\frac{k^2}{2}-\frac{AB^2}{4})+2.AB^2=k^2.$
     Ou seja, os pontos $P$ da circunferência de centro e raio referidos, colineares com $A$ e $B$, satisfazem a condição do lugar geométrico.
5. Só nos falta ver as condições de existência do lugar geométrico em si.
   Para $A \neq B$ a circunferência de que temos vindo a falar existe só e só quando $$\frac{k^2}{2} - \frac{AB^2}{4} \geq 0, \mbox{isto é, quando} \frac{k^2}{2} \geq \frac{AB^2}{4}$$
   • Para $\displaystyle k^2 = \frac{AB^2}{2}\;\; \mbox{ou seja, para}\;\; k= AB. \frac{\sqrt{2}}{2}$, a circunferência reduz-se ao seu centro $M$, ponto médio de $AB$:
     $\displaystyle k=\frac{\sqrt{2}}{2}. {AB} \Leftrightarrow k^2= \frac{AB^2} {2} \Leftrightarrow \frac{k^2}{2}-\frac{AB^2}{4} = 0 \Leftrightarrow PM^2 =0 \Leftrightarrow P=M$
   • Se $\displaystyle k^2 < \frac{AB^2}{2}$ não existe qualquer ponto $P$: $PA^2+PB^2 = k^2$, já que $\displaystyle PA^2+PB^2 = 2PM^2+ \frac{AB^2}{2}$ e $\displaystyle 2PM^2+ \frac{AB^2}{2}\geq \frac{AB^2}{2}$.
6. Para os valores de $k$: $\displaystyle k^2 >\frac{AB^2}{2}$, os pontos $P$ para os quais é constante $k^2$ a soma dos quadrados das suas distâncias a dois pontos $A$ e $B$ dados, é a circunferência de centro no ponto médio $M$ de $AB$ e raio $\displaystyle \sqrt{\frac{k^2}{2} - \frac{AB^2}{4}}$
7. Para a construção deste lugar geométrico, H. Eves propõe os seguintes passos:
   1. Tome-se a reta que passa pelos pontos $A, B$ dados. Num dos extremos, por exemplo $A$, construa-se um ângulo de 45º.
   2. Com centro no outro extremo $B$, constrói-se uma circunferência de raio $k$ dado que, nas condições de existência do lugar geométrico $\displaystyle k >AB.\frac{\sqrt{2}}{2}$, interseta em dois pontos o segundo lado do ângulo de 45º em $A$.
   3. A projeção ortogonal destes dois pontos sobre $AB$ são os extremos do diâmetro da circunferência de centro em $M$ e raio $\displaystyle \sqrt{\frac{k^2}{2} - \frac{AB^2}{4}}$.