Triângulo qualquer pode ser invertido em triângulo retângulo

Um triângulo qualquer pode ser invertido num triângulo retângulo?

Seja $ABC$ um triângulo qualquer. Qual é o lugar geométrico dos centros de uma inversão que transforme o triângulo $ABC$ num triângulo retângulo?

Na nossa construção, procurámos o lugar geométrico dos centros das inversões que transformam o triângulo $ABC$ num triângulo $A'B'C'$ retângulo em $A'$, isto é, tal que $B'C'$ é o diâmetro da circunferência circunscrita a $A'B'C'$.

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© geometrias, 18 de Novembro de 2013, Criado com GeoGebra

Passos:

1. São dados os três vértices e os três lados do triângulo $ABC$ .
2. Considerando a construção que permite inverter um quadrilátero qualquer para um retângulo publicada na última entrada, o lugar geométrico dos centros de inversão que transformam um triângulo qualquer num triângulo retângulo será a circunferência $(O_a)$ (laranja) ortogonal à circunferência $(O)$ e a passar por $B$ e $C$.
3. Um ponto $K$ qualquer de $(O_a)$ é o centro da circunferência de inversão (a vermelho) com raio $r$ qualquer.
4. A inversa de $(O)$, por $I(K, r^2)$, é uma circunferência que terá o seu centro sobre $OK$ e que interseta $\;KA, KB, X KC\; $ em $\;A', B', C'\;$ inversos respetivamente de $\;A, B, C$
5. $A'B'C'\;$ é um triângulo retângulo em $A'$

Antiparalelas invertem-se em paralelas

Antiparalelas podem ser invertidas em paralelas

Se $A, B, C, D$ são quatro pontos tais que $AB$ e $CD$ são antiparalelas relativamente a $AD$ e $BC$, então os quatro pontos podem ser invertidos em vértices de um retângulo

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© geometrias, 13 de Novembro de 2013, Criado com GeoGebra

Passos:

1. São dados $A,B,C,D$ pontos de uma circunferência $(O)$.
2. As retas $AB$ e $CD$ são antiparalelas relativamente a $BC$ e $AD$: $\angle ABC + \angle BCD = 180^o$ e $\angle ABC +\angle CAD = 180^o$.
3. Determinam-se as circunferências:
   • $(O_1)$ ortogonal a $(O)$ que passa por $A$ e $C$: $O_1$ é a interseção da perpendicular a $AO$ com a mediatriz de $AC$
   • $(O_2)$ ortogonal a $(O)$ que passa por $B$ e $D$.
4. $(O_1)$ e $(O_2)$ intersetam-se em $X$ e $Y$
5. Toma-se um deles para centro da circunferência de inversão (tracejada a vermelho) com raio $r$ qualquer; no caso tomámos a inversão $I(X,r^2)$
6. A inversa de $(O)$ é uma circunferência que terá o seu centro sobre $OX$, reta que conterá um dos seus diâmetros.
7. Essa circunferência interseta $\;XA, XB, XC, XD\; $ em $\;A', B', C', D'\;$ inversos respetivamente de $\;A, B, C, D$
8. $A'B'C'D'\;$ é um retângulo
9. Nota: Como $\;(O_1)\;$ passa por $A$ e $C$ a sua inversa é a reta $\;A'C'$. Do mesmo modo para $\;(O_2)\;$ cuja inversa é $\;B'D'$. O centro da circunferência inversa de $(O)$ está sobre $OX$, $A'C'$ e $\;B'D'$.