Máquina: Inversor (de Peaucellier, Lipkin, Hart,…)

Inversor de Peaucellier

O problema de construir um maquinismo articulado para traçar uma reta foi resolvido por A. Peaucellier em 1864. Apesar da invenção ter sido anunciada em 1867, num encontro da Sociedade Filomática de Paris, o trabalho de Peaucellier só teve grande repercussão depois de Lipkin, discipulo de Chebishev, ter reinventado independentemente o mecanismo em 1871. Chebishev tinha tentado provar a impossibilidade de tal mecanismo. Só depois do reconheciemnto de Lipkin na Rússia, é que Peaucellier foi reconhecido e premiado com o grande prémio da Mecânica do Instituto de França. O mecanismo de Peaucellier usa sete barras articuladas com 3 pontos fixos. Em 1874, H. Hart descobriu um maquinismo articulado de 5 barras para desenhar uma reta. Desde então não há notícia de que alguém tenha conseguido reduzir o número de barras necessárias.
Descobriram-se vários mecanismos articulados para construir curvas especiais como cónicas, cardióide, leminiscatas e cissóides. E provou-se que há mecanismos articulados para desenhar qualquer curva algébrica, e que não existe qualquer mecanismo articulado para traçar curvas transcendentes.

Tanto o mecanismo de Peaucellier como o de Hart têm por base a inversão de uma circunferência que passa pelo centro de inversão.
Apresenta-se, na construção seguinte, um inversor que parte de 2 pontos fixos O e D, a partir do qual se define P sobre a circunferência de centro D que passa por P. O fundamental do mecanismo é um losango feito por quatro barras (a castanho), de comprimento dado, articuladas em P, A, P' e B. Também as barras OA e OB (a verde) devem ter o mesmo comprimento, maior que OP. Claro que, DP=DO > OP/2, já que queremos que a circunferência que P percorre (em parte) passe por O se queremos uma reta a ser percorrida por P' inverso de P.
Se P percorresse livremente a circunferência de centro D e raio DP, P' percorreria uma reta acabada. O mecanismo construído tem limitações, como é natural.

Para o caso ilustrado na figura, podemos verificar que a inversão de centro O que transforma P em P' tem potência OA² - PA² (constante, diferença dos quadrados de comprimentos fixados). Assim, considerando nos cálculos, que se seguem, segmentos orientados, temos OP=OC-PC e OP'=OC+PC. Por isso, podemos escrever

OP.OP'=OC² - PC²=(OC²+ CA²) -(PC²+ CA²) =OA² - PA²,
já que 2OC.CA=0 e 2PC.CA=0 (OC perpendicular a CA, e PC perpendicular a CA).

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© geometrias, 5 de Novembro de 2013, Criado com GeoGebra
Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry. Jones and Bartlett Pub. Boston:1992

Circunferências de Apolónio - uma propriedade

Circunferências de Apolónio - uma propriedade

Seja ABC um triângulo. Designando os lados por a=BC, b=AC e c=AB, tiramos as bissetrizes internas e externas dos ângulos do triângulo e chamamos A' e A'' aos pés em a das bissetrizes do ângulo A; B' e B'' aos pés sobre b das bissetrizes de B; C' e C'' aos pés das bissetrizes sobre c do ângulo C. Cada uma das circunferências de diâmetros A'A'', B'B'' e C'C'' (chamadas circunferências de Apolónio) corta cada uma das outras num ângulo de 120 graus.

Este resultado é obtido de forma simples recorrendo à inversão; os ângulos de duas circunferências são os ângulos formados pelas tangentes em ponto de interseção das duas que são preservado por inversão.

Debrucemo-nos sobre um par destas circunferências, de diâmetros B'B'' e C'C'', por exemplo. Para os outros pares, o resultado pode ser obtido de forma inteiramente análoga.

A circunferência de diâmetro B'B' passa por B, porque BB' e BB'' são perpendiculares (bissetrizes interna e externa de B). Do mesmo modo, a circunferência de diâmetro C'C'' passa por C.
Tomamos para circunferência de inversão uma circunferência centrada em A e raio qualquer. Invertemos as circunferências de diâmetros B'B'' e C'C'' e os pontos B₁; e C₁ inversos de B e C, são os pontos médios dos inversos de C'C'' e de B'B'' respetivamente ( notar que (B',B'';A,C)=-1 e que (C',C''; A, B)=-1). Ou seja, B₁ é o centro da a circunferência inversa da circunferência de diâmetro C'C'' e C₁ é centro da circunferência inversa da circunferência de diâmetro B'B''.
Porque a circunferência de diâmetro B'B'' passa por B, a sua inversa passa por B₁ e, do mesmo modo, a inversa da circunferência de diâmetro C'C'' passa por C₁. Cada uma destas circunferências passa pelo centro da outra, cortando-se em dois pontos, M₁ e M₂. Nas condições descritas, o triângulo M₁B₁C₁ é equilátero e as tangentes a estas duas circunferências são perpendiculares aos dois lados M₁B₁, raio da circunferência centrada em B₁, e a M₁C₁, raio da circunferência centrada em C₁, que, sendo lados de um triângulo equilátero fazem um ângulo de 60 graus. As tangentes uma a cada circunferência, perpendiculares a retas que formam ângulo de 60 graus, formam entre si um ângulo de 120 graus que preservado por inversão, é o ângulo que fazem as circunferências de diâmetros B'B'' e C'C'' (inversas das circunferências (B₁) e (C₁)).

© geometrias, 3 de Novembro 2013, Criado com GeoGebra