Construir uma cadeia de Pappus usando uma inversão

Antes da demonstração do teorema de Pappus, sobre uma propriedade da cadeia de Pappus (arbelos, faca de sapateiro), publicamos uma construção da cadeia de Pappus, recorrendo à inversão, proposta por Mariana Sacchetti.
Na nossa construção, partimos de um segmento $XZ$, a ser percorrido por um ponto $Y$, circunferências de diâmetros $XZ$, $XY$ e $XZ$. Depois determinamos, com a ajuda de uma inversão, as circunferências da cadeia, tangentes às referidas de diâmetros $XZ$ e $XY$ e cada uma delas tangente ainda a duas da cadeia.

Para construir a cadeia, Mariana propôe uma inversão relativa a uma circunferência com centro em $X$ e raio $XZ$.
Por essa inversão, $I(X,XZ^2)$, as inversas das circunferências de diâmetros $XZ$ e $XY$ que passam pelo centro $X$ de inversão, são retas. A inversa da circunferência de diâmetro $XZ$ tem o ponto $Z$ sobre a circunferência de inversão e, por isso, passa por $Z$.
Assim, as circunferências da cadeia têm inversas tangentes às inversas das cirucnferências de partida. Como cada uma delas temm ainda de ser tangente a duas outras da cadeira, as suas inveersas empilham-se entre as retas inversas das circunferências de partida, cada uma tangente a essas retas e tangentes às vizinhas, como bem ilustra a construção.
As circunferências da cadeia são obtidas por inversão, $I(X, XZ^2)$, aplicada às circunferências da pilha sequencial entre retas.

Determinar a envolvente de uma família de circuncírculos com recurso à inversão

Nesta entrada, mostramos como a utilização da inversão nos permite determinar um lugar geométrico. A ilustração é muito dinâmica e podia ter-se ficado pela observação dos traçados ou pela apresentação do lugar geométrico que o Cinderella (ou outro programa de geometria dinâmica nos fornece). Mas o recurso à inversão é inestimável para compreender melhor e para desvendar procedimentos de construção e demonstração.
Enunciemos:

Os lados azuis de um ângulo dado de vértice $O$ fixo, em torno do qual rodam, são cortados por uma reta azul em $A$ e $B$. Para cada posição dp ângulo $AÔB$, há um triângulo e a respetiva circunferência circunscrita definida por $A,O, B$. Qual será a envolvente da infinidade das circunferências $OAB$ obtidas quando o ângulo roda em torno do seu vértice $O$?

Na nossa construção, partimos de um ângulo de amplitude fixa, vértice $O$ e lados azuis que cortam a reta $r$ (outro azul) em $A$ e $B$.

em vez da construção *.cdy uma ilustração estática espera ser substituída por uma nova construção interactiva talvez*.ggb
Acompanhe a explicação dos passos dados com a figura original não animada. Claro que pode mover a reta $r$, rodar o ângulo (há um ponto verde para isso). E pode animar a figura usando os botões de animação ao fundo à esquerda.


Para cada reta $r$ e cada posição do ângulo de duas retas (amplitude $\alpha$ ou $\pi-\alpha$) há um triângulo único $OAB$ e logo uma única circunferência circunscrita desenhada a cinza na figura. Quando o ângulo roda em torno de $O$, $A$ e $B$ percorrem a reta $r$ e criando desse modo uma infinidade de circunferências circunscritas. Sera que podemos determinar a envolvente dessa infinidade de circuncírculos?

1. A inversão relativamente a uma circunferência de centro $O$ e raio $OH$, $I(O, OH^2)$, é a ajuda que precisamos para passarmos do circuncírculo $OAB$ para uma reta a passar pelos pontos de interseção do círculo de inversão a vermelho como o circuncírculo. O circuncírculo passa pelo centro de inversão (e a sua imagem é uma reta), passa por $A$ e $B$ (e a sua inversa passa por $A'$ e $B'$.
2. A inversa da reta $r=AB$ que passa por $H$, ponto da circunferência de inversão, é uma circunferência que passa pelo centro $O$ de inversão, por $H=H'$, por $A'$ e por $B'$. O seu centro é o ponto médio de $OH$ Lembremos que, para cada reta $r$, $OH$ é independente da rotação do ângulo em torno de $O$, como o é a circunferência de centro $O$ e raio $OH$.
3. As cordas $A'B'$ da circunferência de centro $O$ e raio $OH$ são iguais por corresponderem a ângulos ao centro e arcos iguais correspondentes ao nosso ângulo $O$ inscrito na circunferência inversa de $r$. Os pontos médios destas cordas na circunferência de diâmetro $AH$ são pontos de uma circunferência concêntrica, desenhada na figura, que é a envolvente destas cordas $A'B'$.
4. Esta circunferência que tem centro no ponto médio de $OH$ e toca a corda a $A'B'$ é a envolvente da inversa do circuncírculo. Assim, a correspondente desta, pela mesma inversão $I(O, OH^2)$, tocará o circuncírculo nos correspondentes aos pontos médios das cordas $A'B'$. E sabemos que a inversa de uma circunferência que não passa pelo centro de inversão é uma circunferência. Está provado que a envolvente dos circuncírculos é uma circunferência. Que circunferência? Quanto mede o seu raio? Onde está o seu centro?
5. Claro que o centro da envolvente dos circuncírculos estará sobre a reta $OH$. Para o resto, bastará considerar uma tangente à circunferência envolvente de $A'B'$, tirada por $O$, centro de inversão. Chamemos $T$ ao ponto de tangência. Pela inversão $I(O, OH^2)$, a $T$ corresponderá um ponto $T'$ de tangência da circunferência envolvente dos circuncírculos. E $OT \times OT' = OH^2$.
6. $OT$ corta a circunferência inversa de $r$ numa posição de $A'$, que designamos por $P'$, correspondente a uma posição $A$ sobre a reta $r$, que designamos por $P$. Sabemos, por isso, que $OP'= 2.OT$. $$OH^2=OP\times OP' = OP \times 2.OT = OT\times OT'$$ de onde se conclui que $$OT'=2\times OP$$. Podemos assim determinar sobre a reta que passa por $O, T, P´, P$ o ponto $T'$ de tangência da tangente tirada por $O$ à inversa da envolvente de $A'B'$. O centro desta circunferência, envolvente dos circuncírculos, está na interseção da reta $OH$ com a perpendicular a $OT$ tirada por $T'$.
   Ficou assim determinada a envolvente aos circuncírculos $OAB$. $\hspace{1cm} \square$

Para confirmar este resultado, clique no botão da animação em baixo à esquerda.

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Caronnet, Th. Éxércices de Géométrie Vuibert. Paris:1946
Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992