A inversão na demonstração de um segundo Teorema de Ptolomeu

O produto das diagonais de um quadrilátero convexo é no máximo igual à soma dos produtos dos seus pares de lados opostos

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Nesta entrada apresentamos uma ilustração e demonstração do Teorema de Ptolomeu cujo enunciado é:

De um quadrilátero convexo $ABCD$ inscrito numa circunferência, o produto das diagonais $AC \times BD$ é igual á soma dos produtos dos dois pares de lados opostos $AB\times CD + BC \times AD$

Por diversas vezes foi citado e utilizado o Teorema de Ptolomeu neste "lugar geométrico". Nesta entrada, tratamos da sua demonstração recorrendo à inversão.
Na nossa construção, partimos de uma circunferência (a azul) e o quadrilátero convexo $ABCD$ (a negro) nela inscrito.

1. Queremos demonstrar que, para o quadrilátero convexo $ABCD$ inscrito, se verifica que $$AB\times CD +BC\times AD = AC \times BD .$$ Para isso tomamos uma circunferência de inversão com centro num dos vértices do quadrilátero. No caso da nossa construção, tomamos $A$ para centro da inversão e uma circunferência (a vermelho) de raio unitário, por conveniência de escrita ( $r=r^2 = 1$) sem perder generalidade.
   A inversão de centro $A$ e raio $1$ é designada por $I(A,1)$. Por esta inversão, o correspondente de $B$ é um ponto $B'$ tal que $AB\times AB' =1$. Do mesmo modo, $AC \times AC'=1$ e $AD \times AD'=1$.
   Por $I(A,1)$, a circunferência azul que contém o centro da inversão tem como correspondente uma reta (a azul na figura), sobre a qual estão $B', C', D'$. $$B'C' + C'D' = B'D'$$ Em entrada de 26 de Agosto p.p., mostrámos que, para uma inversão $I(O,r^2)$ que transforma $P$ em $P'$ e $Q$ em $Q'$. $$P'Q' = PQ \frac{r^2}{OP \times OQ}$$. No caso de $I(A, 1)$ $$B'D' = \frac{BD}{AB \times AD} , \hspace{.5cm} B'C' = \frac{BC}{AB \times AC} , \hspace{.5cm} C'D' = \frac{CD}{AC \times AD}$$ $$B'C' + C'D' = B'D' \Longleftrightarrow \frac{BD}{AB \times AD} = \frac{BC}{AB \times AC} + \frac{CD}{AC \times AD}$$ e, em conclusão,, $$ BD \times AC = BC\times AD + CD \times AB $$ como queríamos. $\hspace{.5cm} \square$
2. Com esta demonstração, recorrendo à inversão, podemos generalizar este resultado de Ptolomeu imediatamente. Assim:
   Se o polígono convexo $ABCD$ não estiver inscrito num círculo, i. e., se os pontos $A,B,C,D$ não forem concíclicos, pela inversão $I(A, 1)$, os pontos $B', C', D'$ não são colineares. Pela desigualdade triangular, $B'D' < B'C'+ C'D'$ e, em consequência, $$AC \times BD < AB\times CD + BC \times AD$$ Podemos assim afirmar que , em geral,
   o produto das diagonais de um quadrilátero convexo é no máximo igual à soma dos produtos dos pares de lados opostos.

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Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992