Inscrever um losango de área dada num paralelogramo dado

Apresentamos mais uma resolução de problema que recorre à inversão:
Dado um paralelogramo $\;[ABCD]$, determinar um losango $\;[MNPQ]\;$ nele inscrito e com uma área dada.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
No caso da nossa construção procurámos um losango de área $72$.

1. No paralelogramo $[ABCD]$ as diagonais — $AC, BD$ — intersetam-se num ponto $O$. Qualquer outro paralelogramo $[MNPQ]$ em que $M \in AB, N \in BC, P\in CD, Q \in DA$ tem o mesmo centro $O$, ou seja, $MP.NQ={O}$
2. A área de tal losango é dada pelo semiproduto das suas diagonais $$\frac{MP \times NQ}{2} = \frac{2OP \times 2OQ}{2} =2\times OP \times OQ$$
3. Já que a área é 72, $OP \times OQ =36$. Sabemos que uma circunferência de raio $6$ e centro $O$ define uma inversão e, para ela, o ponto $E$ de $[AD]$ tem um correspondente $E'$, sendo $OE \times OE'=36$. Como as diagonais do losango são perpendiculares, escolhemos $E$ como pé da perpendicular a $AD$ tirada por $O$.
4. Determinado $E'$ sobre $OE$, bastará efetuar uma rotação, de centro $O$ e um ângulo reto de amplitude, da circunferência de diâmetro $[OE']$ que deve intersetar o lado $CD$ em um ou dois pontos. Escolhemos um deles para o vértice $P$ do losango
5. Conhecido $P$, ${M}=AB.OP$ e tirando por $O$ uma perpendicular a $OP$ esta interseta $AD$ e em $BC$ nos pontos $Q$ e $N$, respetivamente.

Determinar circunferências que passam por P e são tangentes a duas circunferências dadas

Apresentamos mais uma resolução de problema que recorre à inversão:
Dados um ponto P e duas circunferências que não passam por ele (a preto), determinar uma circunferência que passe por P e seja tangente às duas circunferêncnias dadas.
As etapas da resolução do problema podem ser seguidas na ilustração dinâmica (em Cinderella) que se apresenta abaixo.

1. Tomamos uma circunferência auxiliar (violeta) centrada em P, em relação à qual se considera uma inversão.
2. Das duas circunferências dadas (a preto na ilustração) determinam-se as correspondentes, pela inversão de centro P, circunferências (a verde).
3. Determinamos as retas tangentes comuns a estas circunferências verdes: exteriores a vermelho, interiores a azul.
4. A cada uma destas retas tangentes comuns às duas circunferências verdes, imagens por inversão das circunferências dadas, corresponderá pela mesma inversão uma circunferência tangente às duas circunferências dadas que passa por P (centro da inversão correspondente do ponto impróprio da reta) . Determinamos, por isso, as imagens por inversão das retas tangentes.
5. O problema tem, portanto, quatro soluções: duas circunferências azuis correspondentes às retas azuis (tangentes interiores) e duas circunferências vermelhas correspondentes às tangentes vermelhas exteriores.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).