Determinar a circunferência que passa por dois pontos e corta uma reta segundo um ângulo dado.

Há um grande número de construções geométricas, de régua e compasso, que são feitas recorrendo à transformação de inversão relativamente a uma circunferência. Vamos apresentar um problema em que se usa a inversão:
Determinar a circunferência que passa por dois pontos — A e B — dados, e corta uma reta — r — dada, segundo um ângulo — α — dado.

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Para ajudar:

Diz-se que uma reta corta uma circunferência segundo um dado ângulo quando a corda determinada pela reta e a tangente em cada um dos seus extremos formam um ângulo igual ao dado.

Vale a pena lembrar que a envolvente das retas que cortam uma circunferência segundo um dado ângulo é uma nova circunferência concêntrica da anterior. Isso mesmo está ilustrado na construção ao lado. Esse resultado é importante para resolver o problema proposto. Clique no botão > ao fundo à esquerda para ver a circunferência que é tangente a todas as retas que cortam a circunferência segundo o ângulo dado. Depois, quando quiser obter uma reta que corte a circunferência original obtida num ponto qualquer, basta tirar a tangente por esse ponto à envolvente.

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Sigamos agora as etapas de resolução do problema proposto, acompanhando-as na ilustração abaixo

1. Começamos com os dados iniciais — α, A, B e r — para construirmos a circunferência que passa por A e B e é cortada por r segundo o ângulo α
Vamos criar as condições para determinarmos uma circunferência relacionada com r (por inversão) e uma reta que a corte segundo o ângulo α (isso já sabemos fazer, não é?). Claro que, pela mesma inversão, esta última reta será transformada na circunferência que cortará a reta r segundo α.
Para isso, teremos de tomar uma circunferência auxiliar, em relação à qual se façam as inversões. No nosso caso, tomamos, para facilitar, a circunferência de centro em A e que passa por B e que, nas condições da nossa figura, corta a reta r em F e G
2. Em relação a esta circunferência auxiliar, a imagem de r é uma circunferência que passa por F=F', G=G' e A=∞'_r. Claro que pode tomar qualquer circunferência para auxiliar e calcular as imagens de quaisquer dois pontos de r que com o centro da circunferência de inversão definem a imagem de r.
3. Para determinar uma reta que corta a imagem de r segundo um ângulo α,tomamos uma tangente num ponto qualquer da circunferência imagem de r, no caso usámos A, e marcámos o ângulo α em A e a partir dele a circunferência envolvente das retas que cortam a circunferência imagem de r segundo o ângulo α
4. Tirámos, por B, a tangente à circunferência envolvente, que corta a circunferência imagem de r segundo α
5. Finalmente a imagem desta reta BN, pela inversão relativamente à circunferência auxiliar de centro A é a circunferência que passa por A, B e N (Tomámos N=N' da reta e da circunferência de inversão) que corta a reta r segundo α, como podemos verificar na etapa final da construção.

Teorema de Mohr-Mascheroni

As construções geométricas com régua e compasso trabalham com dois tipos de figuras: as circunferências (compasso) e as retas (régua). Estas figuras ficam determinadas por dois pontos — a reta — e por três pontos — a circunferência. Nas últimas entradas, vimos que, só com compasso, podemos determinar o centro de uma circunferência dada por três pontos e também vimos como determinar, só com compasso, os pontos de intersecção de quaisquer duas dessas figuras definidas unicamente pelos seus pontos. Para isso, usámos a inversão relativamente a uma ou várias circunferências.
Assim demonstrámos que
Todas as construções de régua e compasso podem ser feitas só com recurso a compasso (ou só com circunferências)
Este resultado é conhecido como teorema de Mohr-Mascheroni.