Transporte de razões duplas por perspetividade.

Retomamos o papel fundamental das perspetividades - projeções centrais de pontos de uma reta em outra reta - e das razões duplas (cruzadas). Para lembrar que há uma infinidade de classes de teoremas baseados essencialmente numa aplicação iterada do facto bem conhecido e já abordado nestas notas de estudo: a razão dupla é preservada pela perspetividade.
Na construção que se segue, temos a configuração verde à esquerda que força 4 pontos de r - A, B, C, D - a uma posição harmónica. Dizemos que {A, B; C, D} é uma secção dos lados de um quadrilátero completo por r que passa por dois dos seus pontos diagonais a que chamamos quaterno harmónico sendo igual a -1 a razão dupla correspondente (A,B;C,D). Fixados A, B como pontos diagonais (interseções de lados opostos) de um quadrilátero qualquer e C como o ponto de uma das diagonais (retas passando por vértices opostos) sobre AB=r, D resulta como ponto da outra diagonal sobre r, independente do quadrilátero tomado. Pode verificar isso, movendo o ponto verde da configuração.
Uma cadeia de perspetividades transporta a razão dupla (no caso, harmónica) -1 destes pontos para a razão dupla dos pontos correspondentes em outras retas. Na construção apresentada, fechamos a cadeia com uma configuração vermelha que nos permite verificar que os quatro pontos finais A', B' C' D' também estão em posição harmónica. Pode mover o ponto verde da configuração vermelha e ver que D' se mantém para qualquer dos quadriláteros para os quais A' e B' são pontos diagonais e C' é ponto de uma diagonal.

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Nas próximas entradas vamos abordar o transporte de razões duplas com recurso a estruturas cíclicas.

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Seguindo
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry - A guided tour through real and complex geometry. Springer-Verlag. Berlin: 2011

Homologia que transforma um quadrilátero num quadrado

A homologia plana que transforma um quadrilátero ABCD (de que os lados opostos se intersetam em pontos próprios) num quadrado A'B'C'D' já está apontada nas entradas anteriores (já que o quadrado é paralelogramo, retângulo e com as diagonais perpendiculares). Como queremos que A'B'C'D' seja um paralelogramo ou que A'B'.C'D' e A'D'.B'C' sejam pontos impróprios, a reta limite da homologia terá de passar pelos correspondentes pontos próprios AB.CD (L₁) e AD.BC (L₂), dando OL₁
a direção comum de A'B' e de C'D' e OL₂ a direção comum de A'D' e de B'C'.
Para A'B'C'D' ser um quadrado é preciso que

1. OL₁ e OL₂ sejam perpendiculares (o que é satisfeito sse O for um ponto da circunferência de diâmetro L₁L₂),
2. OL₃ e OL₄ sejam perpendiculares (o que é satisfeito sse O for um ponto da circunferência de diâmetro L₃L₄)

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