Homologia que transforma um quadrilátero num quadrado

A homologia plana que transforma um quadrilátero ABCD (de que os lados opostos se intersetam em pontos próprios) num quadrado A'B'C'D' já está apontada nas entradas anteriores (já que o quadrado é paralelogramo, retângulo e com as diagonais perpendiculares). Como queremos que A'B'C'D' seja um paralelogramo ou que A'B'.C'D' e A'D'.B'C' sejam pontos impróprios, a reta limite da homologia terá de passar pelos correspondentes pontos próprios AB.CD (L₁) e AD.BC (L₂), dando OL₁
a direção comum de A'B' e de C'D' e OL₂ a direção comum de A'D' e de B'C'.
Para A'B'C'D' ser um quadrado é preciso que

1. OL₁ e OL₂ sejam perpendiculares (o que é satisfeito sse O for um ponto da circunferência de diâmetro L₁L₂),
2. OL₃ e OL₄ sejam perpendiculares (o que é satisfeito sse O for um ponto da circunferência de diâmetro L₃L₄)

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Centro e reta limite da homologia que transforma um quadrilátero num retângulo

A homologia plana que transforma um quadrilátero ABCD (de que os lados opostos se intersetam em pontos próprios) num retângulo A'B'C'D' é em tudo semelhante às anteriores construções. Como queremos que A'B'C'D' seja um paralelogramo ou que A'B'.C'D' e A'D'.B'C' sejam pontos impróprios, a reta limite da homologia terá de passar pelos correspondentes pontos próprios AB.CD (L₁) e AD.BC (L₂), dando OL₁
a direção comum de A'B' e de C'D' e OL₂ a direção comum de A'D' e de B'C'.
Para A'B'C'D' ser um retângulo é preciso que OL₁ e OL₂ sejam perpendiculares, o que é satisfeito sse O for um ponto da circunferência de diâmetro L₁L₂

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Todas as construções que temos estado a fazer ilustram transformações de quadriláteros noutros mas em que um deles é tal que quaisquer pares dos seus lados se intersetam em pontos próprios.