Centro e reta limite da homologia que transforma um quadrilátero num retângulo

A homologia plana que transforma um quadrilátero ABCD (de que os lados opostos se intersetam em pontos próprios) num retângulo A'B'C'D' é em tudo semelhante às anteriores construções. Como queremos que A'B'C'D' seja um paralelogramo ou que A'B'.C'D' e A'D'.B'C' sejam pontos impróprios, a reta limite da homologia terá de passar pelos correspondentes pontos próprios AB.CD (L₁) e AD.BC (L₂), dando OL₁
a direção comum de A'B' e de C'D' e OL₂ a direção comum de A'D' e de B'C'.
Para A'B'C'D' ser um retângulo é preciso que OL₁ e OL₂ sejam perpendiculares, o que é satisfeito sse O for um ponto da circunferência de diâmetro L₁L₂

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Todas as construções que temos estado a fazer ilustram transformações de quadriláteros noutros mas em que um deles é tal que quaisquer pares dos seus lados se intersetam em pontos próprios.

Que homologia faz corresponder um losango a um quadrilátero qualquer ?

Como determinar uma homologia que transforme um quadrilátero qualquer num losango?
A construção que se apresenta abaixo ilustra a resposta a essa pergunta.

Seja dado o quadrilátero ABCD. Já vimos que para que a figura homóloga de ABCD, A'B'C'D' seja um paralelogramo, há uma reta limite definida por L₁=AB.CD e L₂=AD.BC a que corresponderão, respetivamente, os pontos impróprios A'B'.C'D' e A'D'.B'C'
O centro O da homologia não pode ser qualquer ponto do plano, porque o losango é um paralelogramo de diagonais perpendiculares. Se tomarmos L₃=BD.L₁L₂ e L₄=AC.L₁L₂, será B'D'//OL₃ e A'C'//OL₄. Para ser B'D'⊥A'C', O terá de ser tal que OL₃⊥ OL₄, ou seja, O terá de ser um ponto da circunferência de diâmetro L₃L₄.

A homologia de que precisamos terá uma reta limite dependente do quadrilátero L₁L₂ e um centro O dependente do diâmetro L₃L₄ (pontos limite das diagonais do quadrilátero).
O eixo é uma qualquer reta paralela à reta limite.

Pode ver 2 bonecos um primeiro dinâmico e um segundo estático. Ou só o segundo....