Entre um quadrilátero qualquer e um paralelogramo, que homologia?

Determinar a figura correspondente de outra por uma determinada transformação geométrica é o tipo de exercício ou atividade que temos vindo a ilustrar. Nas últimas entradas, temos vindo a ilustrar a determinação de figuras homológicas para dadas homologias.

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Um outro tipo de exercícios consiste em determinar a homologia que transforma uma figura noutra com propriedades específicas. De certo modo, já houve ilustrações que ajudam a resolver problemas deste tipo. Mas, decidimos dar alguns exemplos só para ilustrar esse tipo de problemas.
Nesta entrada, procurámos a homologia que transforma um quadrilátero dado num paralelogramo. Dado um quadrilátero ABCD, determinar uma homologia que o transforme em A'B'C'D' de lados opostos a encontrar-se em pontos da reta imprópria.
Se queremos que A'B'.C'D' e A'D'.B'C' sejam pontos da reta imprópria, AB.CD e AD.BC têm de ser pontos da reta limite. A homologia que procuramos terá de ter como reta limite a reta definida por esses dois pontos, na figura L₁ e L₂.
Tomando um centro O qualquer, OL₁ será a direção das imagens das retas correspondentes às que se intersetam em L₁: A'B'//C'D'//OL₁. Esas paralelas a OL₁ são tiradas pelos pontos de interseção de um eixo com AB e CD. Do mesmo modo, A'D'//B'C'//OL₂ ...
O eixo da homologia poderá ser uma reta qualquer paralela à reta limite porque esta contém o ponto correspondente ao ponto impróprio do eixo pela homologia em estudo.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella). Assim foi. Já não é aqui.

Hipérbole afim de outra: vértices, eixos, assíntotas

Apresentamos nesta entrada a construção de uma hipérbole afim de uma outra de que são dados o centro O, os vértices A e B e as assíntotas. A afinidade fica bem definida pelo eixo e e por um par (P, P') de pontos correspondentes.
Para determinar O', tome-se a reta OP. O' é a interseção da paralela a PP' tirada por O com a reta que passa por e.OP e por P'.
Para determinar A' e B', toma-se a reta AB (eixo) que passa por O. Porque A'B' passa por e.AB e por O' e AA'//PP'//BB', ficam bem determinados A' e B'.
As homólogas das assíntotas da hiperbole original passam por O e pelos respetivos pontos de interseção do eixo com as assíntotas originais.