Parábola afim de outra: eixos e vértices

Nesta entrada, apresentamos a construção de uma parábola por afinidade de outra parábola dada e de que conhecemos o eixo de simetria a e o vértice A (imagem de si mesmo pela reflexão relativa ao eixo a da parábola). A afinidade que consideramos é dada pelo eixo e e pelo par de correspondentes (A, A').
Como sabemos AA' dá a direção da afinidade que é o mesmo que dizer que para qualquer (X,X') de pontos homólogos pela afinidade, XX'//AA'. Também sabemos que o ponto A é duplo para a reflexão relativamente a a, está sobre t, perpendicular a a, tirada por A e é o único ponto da parábola e de t. A imagem, t', por afinidade de t, é a reta definida por e.t e A' e a imagem por afinidade do eixo a é a reta a' definida por e.a e A'.
O mais natural é que, para a afinidade considerada, a' não seja o eixo de simetria da parábola afim da dada (e A' não seja o seu vértice).
Nesta construção, determinamos quatro pontos homólogos, pela afinidade, de pontos da parábola dada, com o cuidado de termos entre eles, o vértice.
Para isso, tomamos uma perpendicular, n', a _a' num dos seus pontos, N', e determinamos o seu homólogo, N, sobre a (NN'//AA') e a reta, n, homóloga de n', definida por e.n' e N.
Os pontos C e D da parábola original, em que n a corta, têm como homólogos, C' e D', pontos de interseção de n' com a parábola afim. Por n' ser perpendicular a a', C' e D' são simétricos relativamente a um eixo de reflexão que é o eixo da parabola afim e interseta esta em B' que é o vértice da parábola afim da original.

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Afinidade: eixos de simetria da elipse afim de uma circunferência

Na construção que se segue, determinamos duas cónicas afins por uma afinidade de eixo e de que é dado um par (O, O') de pontos correspondentes e a circunferência centrada num deles.
E sugerimos um processo elementar para determinar os eixos de simetria da elipse:
Os eixos de simetria da elipse são perpendiculares a passar pelo centro da elipse correspondentes a certos diâmetros da circunferência.
Tomado um diâmetro da circunferência intersetamo-lo com o eixo da afinidade. Por esse ponto de interseção tomamos uma reta a passar por O' e assim temos o diâmetro correspondente na elipse.
Assim para os eixos de simetria, basta tomar uma circunferência a passar por O e O' e com centro e diâmetro sobre o eixo de afinidade. Cada uma das meias circunferências separadas pelo eixo da afinidade circunscrevem ângulos retos cujos lados intersetam o eixo nos extremos do diâmetro da circunferência. Os lados dos ângulos retos centrados em O e O' intersetam-se sobre o eixo de afinidade. E assim temos os eixos de simetria da elipse e seus homólogos na circunferência (qualquer diâmetro da circunferência é seu eixo de simetria, mas só dois deles são correspondentes dos eixos da simetria da elipse homológica)

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Pode deslocar os pontos O e O' na figura.

A figura ilustra bem que qualquer par de tangentes paralelas da circunferência são perpendiculares nos extremos de uma corda que é a polar do ponto do infinito qe elas representam. Claro que, no caso da circunferência, essas cordas são diâmetros que têm todos um ponto em comum, polo da reta do infinito e centro da circunferência.
Como vimos, para as homologias que não eram afinidades, dadas uma circunferência e uma hipérbole homológicas, o centro da hipérbole era homóloga do ponto C de interseção das tangentes à circunferência em pontos homólogos de pontos impróprios (L₁ e L₂ na reta limite, C era o polo de L₁L₂ ). No caso da afinidade, os homólogos de pontos impróprios são pontos impróprios e as polares de pontos impróprios são os diâmetros a passar pelo centro. Porque a reta imprópria é afim de si mesma, ao seu polo relativamente a uma cónica corresponderá por afinidade o seu polo relativamente à cónica afim, que é o mesmo que dizer que os centros de cónicas afins correspondem-se (ou são homólogos) por afinidade.
Claro que a afinidade transforma diâmetros conjugados (em que o polo de cada um incide no outro) de uma cónica em diâmetros conjugados da sua afim. Cada diâmetro paralelo a duas tangentes paralelas contém o ponto impróprio que é o polo do diâmetro perpendicular a ele e é por isso que diâmetros perpendiculares da circunferência são conjugados (por cada um deles conter o polo do outro)
Na figura fica claro que há pares de diâmetros conjugados que por afinidade correspondem a diâmetros conjugados da elipse. Mas há um só par de diâmetros da circunferência que tem por correspondentes os eixos de simetria da elipse afim.