Afinidade: propriedades.

A construção seguinte servirá como ilustração de algumas propriedades da afinidade homológica.

1. Em duas figuras afins, a todo o ponto impróprio de uma delas corresponde outro ponto impróprio na outra.
   Chamemos 1_∞ ao ponto impróprio da reta AB corresponde um ponto 1' de A'B' na figura.
   A reta que passa por estes pontos 1_∞1' terá a direção da afinidade, isto é, terá de passar por O_∞.
   1_∞O_∞ será a reta imprópria do plano e a sua interseção com A'B' será 1'. Fica assim demonstrado que 1' é um ponto da reta impróprio de A'B', ou seja, é o ponto impróprio da reta A'B'.
2. É assim óbvio que se duas retas AB e CD são paralelas (no caso, passam por 1_∞) as suas homólogas por uma afinidade A'B' e C'D' também são paralelas (no caso, passam por 1').
   Dito de outro modo, a afinidade preserva o paralelismo (qualquer afinidade transforma retas paralelas em retas paralelas) e, por isso, a figura afim de um paralelogramo é outro paralelogramo.
   Por afinidade, um trapézio é transformado noutro trapézio, como é óbvio.




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Pode deslocar pontos da figura, o eixo e a direção da afinidade. Podia e agora não pode.

3. Uma afinidade transforma a reta imprópria do plano em si mesma. Dito de outro modo, a reta imprópria é dupla para qualquer afinidade que é o mesmo que dizer que para a afinidade plana não há retas limite.
4. Como consequência, se sabe que uma figura plana com n pontos impróprios é transformada noutra com n pontos impróprios. Uma elipse (sem pontos impróprios) é afim de uma elipse, uma parábola é afim de uma parábola, uma hipérbole é afim de uma hipérbole.
5. Porque a reta imprópria é afim de si mesma, ao seu polo relativamente a uma cónica corresponderá por afinidade o seu polo relativamente à cónica afim, que é o mesmo que dizer que os centros de cónicas afins correspondem-se (ou são homólogos) por afinidade
6. Claro que a afinidade transforma diâmetros conjugados (em que o polo de cada um incide no outro) de uma cónica em diâmetros conjugados da sua afim.

Afinidade homológica: definições

Debruçamo-nos a partir de agora sobre a homologia afim ou afinidade homológica.

1. Um eixo e, um centro O_∞ e dois pares de pontos homólogos é o bastante para definir a transformação.
   De fato, dados e, O_∞ (uma direção, direção da afinidade) e (A, A') e (B, B') tais que A'A e BB' têm a direção da afinidade ou passam por O_∞ (são paralelas).
   Um ponto P, qualquer, do plano terá por homólogo (afim) um outro ponto P' assim determinado:
   P' é um ponto de uma reta paralela a AA' tirada por P (PP' passa por O_∞);
   e sobre uma reta que passe por e.PA e por A' (ou que passe por e.PB e B')
   Ilustar-se a seguir o que seja definir uma afinidade, usando eixo, direção afim e dois pares de pontos homólogos, determinando o homólogo de um ponto qualquer usando só esses elementos definidores.
   
   
   
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   Pode tomar várias homologias deslocando o eixo ou O_∞ e pode deslocar P sobre o plano. Verifique em que condições BP e B'P' são paralelos, P coincide com o seu homólogo, que se P∈AB então P'∈A'B', etc
   Como pode ver, ao dar dois pares de pontos homólogos estamos a dar um par de retas paralelas e, por isso, basta dar dois pares de pontos homólogos e o eixo para definir uma afinidade .
2. A afinidade fica também bem definida se dermos três pares de pontos homólogos (A, A'), (B, B') e (C, C') (i.e., sendo AA', BB' e CC' paralelas (a concorrer em O_∞) e AB.A'B', AC.A'C' e BC.B'C' colineares (a incidir em e)). Claro que podemos dar um ponto duplo, por exemplo, (A, A), (B, B'), (C, C') definem a afinidade se A'=A enquanto B≠B' e C≠C'.