Pontual de segunda ordem (circular)

Na construção que se segue, temos uma circunferência e dois feixes de retas centrados em pontos V e V' da circunferência, abcd a passar por V e a'b'c'd' a passar por V', em que a=VA, b=VB, c=VC, d=VD e a'=V'A, b'=V'B, c'=V'C, d'=V'D, sendo A, B, C, D pontos da circunferência: a.a'=A, b.b'=B, c.c'=C e d.d'=D.
Verifica-se que os ângulos AVC (de vértice V e lados VA=a e VC=c) e AV'C (de vértice V' e lados V'A=a' e V'B=b' são iguais (ou congruentes por estarem inscritos no mesmo arco da mesma circunferência), etc. As igualdades dos ângulos (a,c)=(a',c'), ... ilustradas na construção, garantem que são iguais as razões duplas dos 2 feixes: (abcd)=(a'b'c'd'), ou seja os feixes V(ABCD) e V'(ABCD) são projetivos
De facto, já tínhamos visto que os feixes projetivos V(ABC) e V'(ABC) definem a cónica que passa por V, V', A, B, C. Estamos com esta construção a ilustrar que a projetividade mantém invariantes as razões duplas tanto pelo lado dos ângulos e das retas (abcd)=(a'b'c'd') como pelas pontuais resultantes de secções dos feixes por uma reta r.
Lembramos que a razão dupla de um feixe (abcd) é igual à razão dupla de qualquer pontual retilinea que se obtenha por secção do feixe e que dois feixes abcd e a'b'c'd' são projetivos sse (abcd)=(a'b'c'd').
No caso presente da nossa construção com circunferência, dadas as relações de iguadade ou congruência entre os ângulos correspondentes, diz-se mesmo que os feixes são congruentes.
Transcrevem-se os enunciados de Izquierdo a este respeito:
Os feixes obtidos ao projetar os pontos A, B, C de uma circunferência a partir de vários pontos dela, V, V', ... são congruentes e, por isso projetivos e, reciprocamente,
O lugar geométrico dos pontos de intersecção das retas correspondentes (não paralelas) a.a', b.b',... de dois feixes congruentes centrados em V e V' é uma circunferência que passa pelos vértices dos feixes.
Esse lugar geométrico recebe o nome de pontual circular ou circunferência pontual. Dois feixes de primeira ordem projetivos não perspetivos determinam uma pontual de segunda ordem.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Se pensarmos na reta VV' como reta do feixe centrado em V, a correspondente reta no feixe centrado em V' será a tangente em V' (V' é ponto da pontual circular interseção dessas retas correspondentes). Se pensarmos em VV' como reta do feixe centrado em V' a sua correspondente é a tangente em V. A base da pontual de segunda ordem (circular neste caso) é a circunferência a que pertencem os pontos da pontual.

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F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004

Pontuais projetivas sobre uma circunferência: Pontos duplos.

Na construção que se segue, temos uma projetividade entre pontuais definida por 3 pares de pontos correspondentes A→A', B→B' e C→C' todos sobre uma mesma base circular. Isso está feito tomando dois feixes perspetivos V.ABC e V'.A'B'C', de tal modo que os pontos VA.V'A'=A'', VB.V'B'=B'' e VC.V'C'=C'' estão sobre uma mesma reta r''. Para determinar a imagem de um ponto qualquer D por essa projetividade, toma-se D''=VD.r'' e vem D' como interseção de V'D''com a circunferência. Convém reparar que variar r'' é variar a projetividade e, mantendo ABCD, forçosamente varia A'B'C'D', na projetividade de eixo r''.
Como o eixo r'' inicialmente mostrado não interseta a circunferência, deslocando o ponto D ao longo dela, verá que D é sempre diferente de D'. A projetividade com este eixo não admite pontos duplos.
Se deslocar o eixo r'' de modo a ser tangente à circunferência, deslocando D sobre a circunferência verá que no ponto de tangência D=D'. Há um ponto duplo para a projetividade de eixo tangente à circunferência. Se deslocar o eixo r'' de modo que seja secante, deslocando D poderá ver que D=D' nos dois pontos de interseção do eixo r'' com a circunferência. A projetividade de eixo secante tem dois pontos duplos.

Dois feixes perspetivos de centros sobre a circunferência (as retas correspondentes pela perspetividade encontram-se em pontos de uma mesma reta - eixo r'') determinam sobre a circunferência duas pontuais b'=V'B', c'=V'C', d'=V'D'.... é óbvio que se podem deduzir a igualdade entre as razões duplas: (abcd)=(A''B''C''D'')=(a'b'c'd') A perspetividade entre dois feixes mantém a razão dupla. E Izquierdo chama razão dupla (ABCD) de quatro pontos da circunferência à razão dupla dos dos eixos VA, VB, VC, VD sendo V um ponto da circunferência. Assim, sendo perspetivos os feixes que determinam sobre a circunferência {A, B, C, D} e {A', B', C', D'}, então (ABCD)=(A'B'C'D').

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• F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
• Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
• H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
• C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004