29.1.13

Da pontual retilínea à pontual circular.

Chamámos pontuais ou fileiras de primeira categoria ou ordem a conjuntos de pontos colineares, isto é, pontos de uma mesma reta. À reta dos pontos da pontual chamámos base da pontual. Por ser uma reta a base das pontuais estudadas, usámos frequentemente o nome de pontual retilínea.
Mais recentemente, levantámos a necessidade de designar conjuntos de pontos de base cónica. Notámos que Izquierdo, por exemplo, classifica-as como pontuais de segunda categoria. E que a todas elas chama pontuais elementares (de base retilínea ou base cónica)
Definições, propriedades e processos das transformações projetivas entre pontuais podem ser estendidas da primeira para a segunda ordem.
Nesta entrada, apresentamos a construção da correspondência um para um entre os pontos de uma reta (pontual retilínea) e os pontos de uma circunferência (a palavra círculo é usada muitas vezes com o mesmo sentido e, por isso, pontual circular)
Para estabelecer essa correspondência entre os pontos de um círculo e de uma reta r, tomamos o ponto P do círculo em que a tangente respetiva interseta r no seu ponto do infinito e o feixe elementar de primeira ordem centrado em P {a, b, c, d, ...}. A reta a que interseta a circunferência em A, interseta a reta r em A' correspondente... E a reta p que interseta o círculo em P, interseta a reta r no seu ponto do infinito.
da antiga dinâmica:Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Na figura, pode fazer variar as retas do feixe centrado em P.

Para esta correspondência um a um, para centro do feixe da projeção não podemos tomar, como é óbvio, um ponto P exterior nem interior ao círculo.
Por este processo (ou análogo) aqui descrito, podemos sempre fazer corresponder a cada ponto de uma pontual retilínea um ponto de pontual cónica.
F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004

25.1.13

AVISO DE ACIDENTE

Nesta última semana, por algum motivo, os originais corrigidos das publicações (entradas) desapareceram. Estamos a tentar recuperar e repor na medida das nossas possibilidades. Os cuidados de Aurélio Fernandes dão-nos provas de que as reposições são documentos provisórios cheios de gralhas e imprecisões. De facto, nós corrigíamos diretamente sobre o servidor.... de onde deixámos voar os papéis. Mantemos as portas abertas e as publicações (indecentes) porque assim podem ver as construções feitas e isso é o que nos importa mais.
De resto, podemos pedir desculpa pelos inconvenientes e incómodos de alguns leitores, mas..... isto é um blog e já vivemos vários períodos de servidores que fecharam sem aviso, construções degradadas, atualizações de aplicações (java, jar) que afastaram da nossa vista construções feitas, etc. Amadores!!! Pois.
Até logo.
Entretanto, procuramos o que falta e tentamos rever e corrigir as versões dos textos visíveis.
Os (ir)responsáveis (falando geometricamente :-) e não só),
Arsélio, Aurélio e Mariana.