Já abordámos em diversas circunstâncias e por diversos motivos as razões a que chamámos razões cruzadas (cross-ratio) e mais recentemente razões duplas (na terminaologia de Izquierdo) para cada quaterno de pontos colineares que representámos por (A,B;C,D) ou (ABCD), tendo o cuidado de escolher um sentido sobre a (reta dos 4 pontos), por exemplo de A para B.
Verificámos também em várias ocasiões que, sempre que há uma projetividade que transforma pontos A, B, C, D de a respetivamente em A', B', C', D' de a', então (ABCD)=(A'B'C'D'). Verificámos ainda que o mesmo acontece para razões duplas de feixes de retas projetivos.
Na construção que se segue, repetimos a construção relativa à noção de projetividade (como sequência de projeções e secções) definida por Coxeter, apresentada em Projetividade, de modo a ilustrar a invariância da razão cruzada ou dupla de dois quaternos de pontos colineares projetivos.
Pode verificar-se ainda que cada razão simples (ABC) pode não manter-se invariante por projetividade enquanto que a razão dupla (razão de razões simples) se mantém invariante.
Izquierdo, a (ABCD), chama razão dupla ou anarmónica quando (ABCD)≠-1 e razão harmónica quando (ABCD)=-1. Do mesmo modo, chama quaterno anarmónico ou harmónico conforme o valor da razão dupla respetiva. Como vimos a razão dupla de um feixe de 4 retas tem o mesmo valor de qualquer pontual que seja obtida por secção determinada por uma reta que não passe pelo centro ou vértice do feixe.
Conforme Izquierdo, Projetividade pode ser definida como correspondência um a um, que transformando pontos em pontos e retas em retas, mantém invariantes as razões duplas de pontuais ou feixes, i.e, duas formas de primeira categoria são projetivas se estão relacionadas harmónica ou anarmonicamente ou podem deduzir-se por projeções ou secções. Cita, a propósito,
Chasles: Duas formas de primeira categoria (pontuais ou feixes) são projetivas se estão relacionadas anarmonicamente,
von Staudt: duas formas de primeira categoria são projetivas se estão relacionadas harmonicamente e
Poncelet: duas formas de primeira categoria são projetivas se podem obter-se uma da outra por meio de projeções e secções
F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004
