Teorema da Borboleta e ponto invariante da involução de Desargues

S. Schuster fixou o seguinte resultado:
Sejam P, Q, R, S, T cinco pontos, dos quais não há há três colineares. Então há uma cónica que passa pelos seis pontos A=QR.PS, B=RP.QS, C=PQ.RS
A'=QR.PT, B'=RP.QT, C'=PQ.RT

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

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A, B e C são intersecções de lados opostos de PQRS e A', B' C' são intersecções de lados opostos de PQRT. Ou seja, ABC é o triângulo diagonal do quadrângulo PQRS e A'B'C' é o triângulo diagonal de PQRT. Por isso, ABC e A'B'C' são dois triângulos auto-polares, em que nenhum dos vértices de qualquer deles incide em qualquer dos lados do outro. O resultado da entrada anterior garante que há uma só cónica a passar pelos seis vértices desses dois triângulos.

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H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994

Resultado de Schuster.

S. Schuster fixou o seguinte resultado:
Sejam P, Q, R, S, T cinco pontos, dos quais não há há três colineares. Então há uma cónica que passa pelos seis pontos A=QR.PS, B=RP.QS, C=PQ.RS
A'=QR.PT, B'=RP.QT, C'=PQ.RT

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

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A construção feita esclarece que ABC é o triângulo diagonal do quadrângulo PQRS e A'B'C' é o triângulo diagonal de PQRT. São dois triângulos auto-polares, em que nenhum dos vértices de qualquer deles incide em qualquer dos lados do outro. O resultado da entrada anterior garante que há uma só cónica a passar pelos seis vértices desses dois triângulos.

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H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994