Das cónicas que passam pelos vértices de um quadrilátero, aquelas que intersetam uma dada reta (que não passe pelos vértices) fazem-no num par de pontos de uma involução.
A construção que se segue pretende ilustrar este enunciado. Na figura está representado um quadrângulo de vértices P, Q, R, S e uma reta g que não passa por qualquer desses vértices. Representa-se também uma cónica de entre as que passam pelos 4 vértices do quadrângulo.
Os pontos de intersecção da reta g
com os lados do quadrângulos são A=PS.g, B=QS.g, D=QR.g, E=PR.g
e com a cónica são T e U.
Se considerarmos os pontos S, R, T, U como posições de um ponto variável da cónica, podemos considerar dois feixes projetivos de retas, um centrado em P relacionado com outro centrado em Q.
PS→A=PS.g e QS→B=QS.g
PR→E=PR.g e PS→D=PS.g
E como já tinhamos visto no Teorema de Steiner, há uma projetividade que transforma A em B e E em D.
Deslocando o ponto verde sobre a cónica, vê-se que quando este coincide com R as intersecções com g das retas correspondentes dos feixes por P e por Q estão em A e B; quando este ponto verde coincide com S as intersecções com g das retas correspondentes nos dois feixes por P e Q estão em E e D. Já quando o ponto verde (variável, claro) coincide com T ambas as retas correspondentes dos feixes projetivos por P e Q intersetam a reta g no mesmo ponto T e, como é óbvio, qando o ponto verde é U as retas correspondentes dos dois feixes projetivos intersetam g em U.
Podemos, pois, escrever que
há uma projetividade que transforma AETU em BDTU. E, como sabemos que quaisquer quatro pontos colineares podem ser permutados por uma projetividade, BDTU e DBUT são projetivos.
Em conclusão: como AETU projetivo com BDTU e BDTU projetivo com DBUT, também AETU é projetivo com DBUT, ou seja, podemos concluir que o par TU das intersecções de g com a cónica é um par da involução (AD)(BE) que depende unicamente do quadrângulo. O que quer dizer que o resultado é válido para todas as cónicas de que g seja secante ou tangente, isto é, determinando um par (T≠U) ou um ponto invariante (T=U) da involução.
Vale a pena ainda ver que, quando o R coincide com P, a reta RP é substituída pela tangente em P. Ou quando R=Q, a reta RQ é substituída pela tangente em Q ou quando S=Q, SB é a tangente em Q.…
Assim, podemos escrever que
das cónicas tangentes a uma reta num dado ponto e que passam por dois outros pontos dados, se intersetam uma outra reta (não passando por qualquer dos três pontos dados) fazem-no em pares de uma involução.
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
