Teorema de Pascal

Na entrada Hexágono com diagonais concorrentes tem uma cónica inscrita ilustrava-se o resultado:
Teorema de Brianchon (1760-1854): Se os lados de um hexágno são tangentes a uma cónica, as suas três diagonais inicidem num só ponto, ou "se um hexágono circunscreve uma cónica então as suas diagonais são concorrentes"
obtido por dualização do Teorema de Pascal (1623-1662): Se pelos vértices de um hexágono passa uma cónica, os pares de lados opostos intersetam-se em 3 pontos que inicidem numa mesma reta, ou se um hexágono se inscreve numa cónica, os pares de lados opostos intersetam-se em pontos colineares.
Na ilustração que se segue, temos uma cónica e o hexágono de lados a, b, c, d, e, f nela inscrito (os vértices a.b, c.d, d.e, e.b, b.f e f.a são pontos da cónica) sendo, por isso, os pontos a.d, b.e, c.f colineares.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Em "Essay pour les coniques" de 1640, Blaise Pascal enuncia este resultado como segue:"Se num plano MSQ, do ponto M partem as duas retas MK e MV, e do ponto S partem as duas retas SK, SV… e pelos pontos K e V passa a circunferência de um círculo cortando as retas MV, MK, SV, SV, SK nos pontos O, P, Q, N:
eu digo que as retas MS, No, PQ são da mesma ordem" no sentido de pertencerem a um mesmo feixe.

Vale a pena chamar a atenção para o facto de este Teorema de Pascal ser o recíproco do resultado ilustrado em Cónica por 5 pontos: Construção de Braikenbridge e Maclaurin

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H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
H. S. M. Coxeter, Introduction to Geometry. 2nd ed, Wiley Classics Library. NY:1989

Cónica por 5 pontos

Na entrada Cónica inscrita num pentágono ilustrava-se o resultado:
Se p, q, r são três retas não concorrentes e XYZ é um triângulo variável em que X toma posições sobre p, Y sobre q e Z sobre r enquanto XZ e YZ passam respetivamente por pontos B e A fixos (não necessariamente incidentes em p ou q) não colineares com p.q
então
o lado XY envolve uma cónica (tangente a p, q, A(p.r), B(q.r), e AB ou inscrita num pentágono).

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Nessta entrada, apresentamos uma construção que ilustra o resultado dual desse, descoberto por Braikenbridge e Maclaurin, que se enuncia como segue:
Se P,Q, R são três pontos não colineares e xyz é um triângulo variável em que x passa por P, y passa por Q e z passa por R, enquanto x.z e y.z são pontos respetivamente de b e a fixas (não necessariamente a passar por P ou Q) não incidentes em PQ
então
o lugar geométrico dos pontos x.y é uma cónica (que passa por P, Q, a.PR, b.QR e a.b ou circunscrita a um pentágono)

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
A animação pode ser controlada nos botões ao fundo à esquerda.
Esta construção sugere que os lados opostos de um hexágono inscrito numa cónica (de vértices P, Q, a.PR, b.QR, a.b, x.y) se intersetam em pontos colineares (b.x, a.y, PR.QR=c.d na figura).

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H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994