Teorema de Brianchon

A construção e a demonstração da última entrada deram-nos um método simples e seguro para determinar uma cónica inscrita num pentágono qualquer. Pode ser descrito como segue:
Seja um pentágono ABCDE. Tome-se um ponto variável sobre uma das diagonais, por exemplo, Z em CE.
Para cada Z de CE tomem-se os pontos X=DE.ZB e Y=CD.AZ e a reta XY por eles definida.
O conjunto das retas assim definidas (quando Z percorre CE) são tangentes à cónica inscrita no pentágono ABCDE.

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Na altura, chamámos a atenção para o hexágno da figura ABCYXE, com os seis lados tangentes à cónica. Cada par de vértices opostos define o que chamamos uma diagonal do hexágono, a saber AY, BX e CE e a construção associada mostrava-nos que quaisquer que fossem as pontuais X (sobre DE) e Y (sobre CD) projetivas, i.e. tais que AY e BX se intersetassem sobre CE. Via-se também que os lados desse pentágono eram posições particulares de XY e, por isso, a cónica definida é tangente a todos os lados do pentágono ABCDE.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
da antiga dinâmica animada:A animação pode ser controlada nos botões ao fundo à esquerda.
Se os seis lados de um hexágono qualquer são tangentes a uma cónica, cinco deles, como tomámos por exemplo, DE, EA, AB, BC e CD, também são tangentes. Como é única a cónica tangente a estas 5 retas fixas, o sexto lado tem de coincidir com uma posição particular de XY para a qual BX.AY é um ponto de CE
Fica assim demonstrado o
Teorema de Brianchon:
Se os lados de um hexágno são tangentes a uma cónica, as suas três diagonais inicidem num só ponto.

Cónica inscrita num pentágono

Na anterior entrada, vimos que
Se p, q, d são 3 retas que não incidem num mesmo ponto e XYZ for um triângulo variável
- com X a mover-se sobre p, Y a mover-se sobre q e Z a mover-se sobre d, e
- o lado XZ a passar por um ponto fixo B de q e o lado YZ a passar por um ponto fixo A de p
então o terceiro lado do triângulo envolve uma e uma só cónica tangente a p e q nos pontos P=p.d e Q=q.d.

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A construção, que se segue, ilustra um resultado mais geral:
Se p, q, r são três retas não concorrentes e XYZ é um triângulo variável em que X toma posições sobre p, Y sobre q e Z sobre r enquanto XZ e YZ passam respetivamente por pontos B e A fixos (não necessariamente incidentes em p ou q) não colineares com p.q
então
o lado XY envolve uma cónica.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
da antiga dinâmica:A animação pode ser controlada nos botões ao fundo à esquerda.
Nas condições da figura, a perspetividade centrada em B seguida da perspetividade centrada em A X → ^B → Z → ^A → Y é uma projetividade relacionando X com Y, que não é uma perspetividade, já que nem r nem AB passam por D=p.q.
Assim as retas XY são tangentes uma cónica que também admite como tangentes p e q.
Podemos verificar o que acontece para algumas posições dos vértices e correspondentes posições de XY:

1. quando Z=E=p.r, X=E, AY=AE e também XY=AE, que significa que AE é tangente à cónica
2. quando Z=C, Y=C, BX=BC e também XY=BC tangente à cónica
3. quando Z=G, X=I, Y=J e também XY=AB tangente à cónica

Podemos assim olhar para o essencial da nossa construção de uma cónica tangente aos lados de um pentágono ABCDE.
Na nossa construção, partimos de p=DE, q=CD, r=CE, AB, em que r=CE é a diagonal do pentágono ABCDE. Para a determinação do triângulo variável XYZ, partimos de Z livre sobre a diagonal r, X=p.BZ, Y=q.AZ, para uma projetividade que não é perpsetividade entre as pontuais X (sobre p) e Y (sobre q).
E, conforme a definição de Steiner, as retas XY (passando por correspondentes projetivos) geram a cónica inscrita no pentágono.
Também podemos olhar para a nossa construção para ver um hexágono ABCYXE de diagonais AY, BX e CE (a passar por Z) cujos lados são tangentes à cónica.