Cónica inscrita num pentágono

Na anterior entrada, vimos que
Se p, q, d são 3 retas que não incidem num mesmo ponto e XYZ for um triângulo variável
- com X a mover-se sobre p, Y a mover-se sobre q e Z a mover-se sobre d, e
- o lado XZ a passar por um ponto fixo B de q e o lado YZ a passar por um ponto fixo A de p
então o terceiro lado do triângulo envolve uma e uma só cónica tangente a p e q nos pontos P=p.d e Q=q.d.

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A construção, que se segue, ilustra um resultado mais geral:
Se p, q, r são três retas não concorrentes e XYZ é um triângulo variável em que X toma posições sobre p, Y sobre q e Z sobre r enquanto XZ e YZ passam respetivamente por pontos B e A fixos (não necessariamente incidentes em p ou q) não colineares com p.q
então
o lado XY envolve uma cónica.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
da antiga dinâmica:A animação pode ser controlada nos botões ao fundo à esquerda.
Nas condições da figura, a perspetividade centrada em B seguida da perspetividade centrada em A X → ^B → Z → ^A → Y é uma projetividade relacionando X com Y, que não é uma perspetividade, já que nem r nem AB passam por D=p.q.
Assim as retas XY são tangentes uma cónica que também admite como tangentes p e q.
Podemos verificar o que acontece para algumas posições dos vértices e correspondentes posições de XY:

1. quando Z=E=p.r, X=E, AY=AE e também XY=AE, que significa que AE é tangente à cónica
2. quando Z=C, Y=C, BX=BC e também XY=BC tangente à cónica
3. quando Z=G, X=I, Y=J e também XY=AB tangente à cónica

Podemos assim olhar para o essencial da nossa construção de uma cónica tangente aos lados de um pentágono ABCDE.
Na nossa construção, partimos de p=DE, q=CD, r=CE, AB, em que r=CE é a diagonal do pentágono ABCDE. Para a determinação do triângulo variável XYZ, partimos de Z livre sobre a diagonal r, X=p.BZ, Y=q.AZ, para uma projetividade que não é perpsetividade entre as pontuais X (sobre p) e Y (sobre q).
E, conforme a definição de Steiner, as retas XY (passando por correspondentes projetivos) geram a cónica inscrita no pentágono.
Também podemos olhar para a nossa construção para ver um hexágono ABCYXE de diagonais AY, BX e CE (a passar por Z) cujos lados são tangentes à cónica.

Cónica tangente a duas retas e pontos de tangência

Dualizando a definição de Steiner, obtivemos:
Sejam dois pontos X e Y pontos variáveis sobre as retas p e q tais que X e Y são projetivos mas não perspetivos. A envolvente das retas XY é uma cónica tangente a p e q.
Qualquer projetividade que relacione X (pontual de base p) com Y (pontual de base q) tem um eixo. Se tomarmos dois pontos fixos - A sobre p como posição particular de X e B sobre q como a posição particular correspondente de Y - XB.YA=Z é um ponto do eixo (da projetividade que relaciona X com Y) que se mantém independente das variações de X.
Na nossa construção, pode ver que quando X=A, Y=B. O lugar geométrico dos pontos Z quando X varia sobre p é a reta d. Se tomarmos d como eixo dessa projetividade, e designarmos d.p=P e d.q=Q, quando X=P, Y=D=p.q, Z=P; quando X=D=p.q, Y=Q=d.q, Z=Q. O que significa que os pontos P=d.p e Q=d.q são os pontos de tangência da cónica envolvente das retas XY com as p e q.
A projetividade em causa pode ser sempre descrita como um produto de duas perspetividades. Atendendo à construção em que G=d.AB, vimos que a perspetividade de centro em B transforma a pontual APDX sobre p na pontual GPQZ sobre d e a perpspetividade de centro em A transforma esta pontual GPQZ sobre d em BDQY sobre q.
Na polaridade associada à cónica envolvente das retas XY, P é polo de p, Q é polo de q, D=p.q é polo de d=PQ.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
da antiga animação:A animação pode ser controlada nos botões ao fundo à esquerda.
Podemos olhar para a figura da construção de outro modo,
como se tivessemos um triângulo variável XYZ
com X a mover-se sobre uma reta p, Y a mover-se sobre uma reta q e Z a mover-se sobre uma reta d,
o lado XZ a passar por um ponto fixo B de q e o lado YZ a passar por um ponto fixo A de p.
E, nestas condições, o terceiro lado do triângulo envolve uma e uma só cónica.