Steiner: Cónica por 5 pontos

Sejam 5 pontos quaisquer P, Q, R, P' e Q' dos quais não há 3 que sejam colineares e uma reta variável x passando por P.
Definem-se
N=PQ'.P'Q, M=RP'.x, L=Q'R.MN e R'=QL.x
Procura-se o lugar geométrico dos pontos R'.

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A construção, que se apresenta a seguir, sugere que, quando x roda em torno de P, R' descreve uma cónica.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
da antiga dinâmica:A animação pode ser controlada nos botões ao fundo à esquerda.
Se as retas x formam um feixe centrado em P, as retas y=LQ formam um outro feixe centrado em Q. Para cada x, há um ponto M=x.RP' a que corresponde um só ponto L sobre MN (N-persp) que por sua vez determina uma só reta y=LQ
Quando x=PQ (sendo uma reta do feixe centrado em P) corresponde-lhe uma reta y≠PQ (do feixe centrado em Q) . Do mesmo modo, quando y=PQ (reta do feixe centrado em Q) corresponde-lhe uma reta x≠PQ (do feixe centrado em P. Por isso, os dois feixes de retas (x e y) são projetivos não perspetivos. Se fossem perspetivos, à reta definida por P e Q (centros dos feixes) teria como imagem ela mesma.
Assim, pela definição de Steiner, x.y=R' está sobre a cónica que passa pelos pontos P, Q, R, P' e Q'.

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Esta construção sugere fortemente

1. que, para definir uma cónica bastam 5 pontos entre os quais não haja 3 a incidir numa reta comum, e, também,
2. que um método para determinar a tangente num dado ponto P de uma cónica pode consistir em determinar a reta de um feixe centrado em P que seja a correspondente projetiva a uma secante à cónica, qualquer, tirada por P, tomada como reta de um feixe centrado na intersecção da secante com a cónica

Steiner:Cónica como lugar geométrico dos polos trilineares de um feixe de retas

Na construção desta entrada, procuramos o lugar geométrico dos polos trilineares de um feixe de retas de centro O distinto de qualquer dos vértices de um triângulo ABC (em relação ao qual se estabelece a polaridade trilinear). Sobre o polo trilinear, pode consultar as entradas

1. Polar trilinear, em que se faz referência específica às relações harmónicas estabelecidas na determinação do triângulo ceviano de ABC da relação entre polo e polar trilinear relativamente a ABC e da homologia que relaciona os dois triângulos
2. Da polar ao polo em que se apresenta uma construção, passo a passo, em resposta a pergunta de um leitor anónimo.

Relativamente ao triângulo ABC, a determinação da polo trilinear X de uma qualquer das retas x a passar por um ponto O é feita assim:

• Determinam-se os pontos de intersecção da recta x com os lados do triângulo ABC - X'_a=BC.x, X'_b=AC.x e X'_c=AB.x.
• O ponto X_c determina-se como conjugado harmónico de X'_c relativamente aos pontos A e B. O ponto x.CX_c será conjugado harmónico de X'_c relativamente X'_a e X'_b.
• Determinado X_c, imediatamente se determinam X_a e X_b tirando as rectas X'_a X_c e X'_b X_c que intersectam os lados AC em X_b e BC em X_a respetivamente. A reta X'_cX_a passa por X_b e, por isso X_aX_bX_c determinam um triângulo inscrito em ABC com lados a intersectar x nos pontos de intersecção desta com o triângulo original.
• As cevianas AX_a, BX_b e CX_c intersetam-se no pólo X, correspondente à polar trilinear x.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Os botões ao fundo à esquerda permitem controlar a animação.
A cada reta x, variável, do feixe centrado em O, corresponde AX_a, por um lado, e BX_b por outro, afinal dois feixes projetivos mas não perspetivos nas condições da definição de Steiner para uma cónica. O lugar geométrico dos pontos de intersecção das retas correspondentes dos dois feixes projetivos não perspetivos X=AX_a.BX_b é uma cónica que passa por A, B e C.
Fazendo variar a reta x, fará variar as retas AX_a e BX_b, em consequência, variar X. Pode ver quais são as tangentes em A, B ou C (distintas sempre de AB, BC, CA)
Pode também deslocar O e ver o que acontece quando O está no exterior ou interior de ABC, sobre algum dos lados, sobre algum dos vértices.