Steiner:Cónica como lugar geométrico dos polos trilineares de um feixe de retas

Na construção desta entrada, procuramos o lugar geométrico dos polos trilineares de um feixe de retas de centro O distinto de qualquer dos vértices de um triângulo ABC (em relação ao qual se estabelece a polaridade trilinear). Sobre o polo trilinear, pode consultar as entradas

1. Polar trilinear, em que se faz referência específica às relações harmónicas estabelecidas na determinação do triângulo ceviano de ABC da relação entre polo e polar trilinear relativamente a ABC e da homologia que relaciona os dois triângulos
2. Da polar ao polo em que se apresenta uma construção, passo a passo, em resposta a pergunta de um leitor anónimo.

Relativamente ao triângulo ABC, a determinação da polo trilinear X de uma qualquer das retas x a passar por um ponto O é feita assim:

• Determinam-se os pontos de intersecção da recta x com os lados do triângulo ABC - X'_a=BC.x, X'_b=AC.x e X'_c=AB.x.
• O ponto X_c determina-se como conjugado harmónico de X'_c relativamente aos pontos A e B. O ponto x.CX_c será conjugado harmónico de X'_c relativamente X'_a e X'_b.
• Determinado X_c, imediatamente se determinam X_a e X_b tirando as rectas X'_a X_c e X'_b X_c que intersectam os lados AC em X_b e BC em X_a respetivamente. A reta X'_cX_a passa por X_b e, por isso X_aX_bX_c determinam um triângulo inscrito em ABC com lados a intersectar x nos pontos de intersecção desta com o triângulo original.
• As cevianas AX_a, BX_b e CX_c intersetam-se no pólo X, correspondente à polar trilinear x.

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Os botões ao fundo à esquerda permitem controlar a animação.
A cada reta x, variável, do feixe centrado em O, corresponde AX_a, por um lado, e BX_b por outro, afinal dois feixes projetivos mas não perspetivos nas condições da definição de Steiner para uma cónica. O lugar geométrico dos pontos de intersecção das retas correspondentes dos dois feixes projetivos não perspetivos X=AX_a.BX_b é uma cónica que passa por A, B e C.
Fazendo variar a reta x, fará variar as retas AX_a e BX_b, em consequência, variar X. Pode ver quais são as tangentes em A, B ou C (distintas sempre de AB, BC, CA)
Pode também deslocar O e ver o que acontece quando O está no exterior ou interior de ABC, sobre algum dos lados, sobre algum dos vértices.

Steiner: a outra definição de cónica

Numa entrada Definição projetiva de cónicas, de Setembro de 2012, já abordámos a definição de uma cónica como lugar geométrico dos pontos de interseção das retas correspondentes em dois feixes projetivos, mas não perspetivos. Nas entradas posteriores, definimos cada cónica como o lugar geométrico dos pontos auto-conjugados (ou retas auto-conjugadas) numa dada polaridade (seguindo Von Staudt, escreve Coxeter)
O enunciado do provado Teorema de Steiner garante que
Sendo x e y retas a passar por pontos de uma cónica, R comum, variável, e outros dois fixos P e Q (x=PR e y=RQ), x e y são projetivas que é o mesmo que dizer que,
se para uma dada polaridade (ABC)(Pp) em que ABC é o triângulo auto-polar diagonal de quadrângulo de que se conhecem três vértices P, Q, R auto-conjugados (da cónica) os feixes das retas x=PR e y=QR (R variável) são projetivos.
O procedimento alternativo à definição de cónica como polaridade hiperbólica (com pontos auto-conjugados) é: Sejam os feixes de retas variáveis x e y passando por P e Q (fixos) projetivos mas não perspetivos. O lugar geométrico dos pontos x.y é uma cónica que passa por P e por Q.
Se pela projetividade entre os feixes for pdx →dqy, em que d=PQ, então p e q são as tangentes em P e Q.

Se a projetividade x→y não é uma perspetividade, a reta d=PQ não é transformada em si mesma. Por isso, há obrigatoriamente duas retas p e q que a projetividade relaciona com d, assim: p→d e d→q. Como sabemos há uma única cónica a passar por PQ e x.y=R e tal que p e q são tangentes.