Tangente à cónica num dos seus pontos

E como é que se determina a polar de um ponto auto-conjugado para uma dada polaridade? Ou, dito de outro modo, como é que se determina a tangente (polar) a uma cónica de que conhecemos o ponto de tangência (seu polo)?
Consideremos a cónica (vermelha) e sobre ela um ponto (verde) P.
1. Tracemos uma secante à cónica que passe por P, seja PQ.
2. O polo de PQ será o ponto de intersecção p.q, em que p é a polar de P e q a polar de Q ( p e q serão tangentes à cónica em P e Q, respetivamente)
3. Como se determina o polo p.q de PQ? Tome-se um quadrilátero PQRS inscrito na cónica que terá um ponto diagonal C sobre PQ. Deste quadrilátero, o triângulo ABC autopolar, em que a polar de C é c=AB. Tome-se também um outro ponto de PQ, C₁, e por ele duas secantes à conica R₁S₁ PQ. PQR₁S₁ é um quadrilátero inscrito na cónica sendo A₁B₁C₁ o seu triângulo diagonal, auto-polar. A polar de C₁ é c₁= A₁B₁. PQ=CC₁ tem polo p.q=c.c₁.
4. A tangente à cónica, p, em P será a reta que passa por c.c₁ e por P.

da antiga dinâmica:Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Polar de um ponto relativamente a uma cónica

As construção e demonstração da entrada anterior pretendem convencer que cada cónica, qualquer que ela seja, induz uma polaridade que fica definida por qualquer quadrângulo de vértices P,Q,R,S sobre a cónica para o qual se prova que o triângulo diagonal ABC é auto-polar. Antes disso já se tinha definido cónica como lugar geométrico dos pontos auto-conjugados para uma polaridade (ABC)(Pp).
Desse modo, ficou também indicado o método para determinar a polar de um ponto qualquer não incidente na cónica. Para determinar a polar de um ponto C bastaria traçar duas retas por C, secantes à cónica (seguindo a figura dessa entrada) PQ e RS para, em seguida, obter os restantes pontos de intersecção de lados opostos de PQRS: A=PS.QR e B=PR.QS
A reta AB=c (lado oposto a C no triângulo diagonal ABC, como vimos, auto-polar) é a polar de C.

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Insistimos na determinação da polar. Como determinamos a polar de um ponto A (ponto negro) relativamente à cónica (vermelha) da figura?
Por A traçámos duas secantes à cónica QR e PS. Em seguida, determinados B=PR.QS e C=PQ.RS, pontos de intersecção dos restantes lados opostos de PQRS. ABC é o triângulo auto-polar de PQRS inscrito na cónica e, por isso, a polar de A é a=BC.

da antiga: Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Nesta entrada, se deslocar A, alterando a posição de A do interior para o exterior, pode verificar a relação entre as posições relativas de A e a relativamente à cónica. Pode deslocar o ponto P sobre a cónica para verificar que a não depende das secantes tiradas por A. Deixámos o ponto R (de que o desenho depende) para poder variar a cónica.