Teorema de Hesse

As quatro retas a, b, c, d da figura intersetam-se em b.c=A, a.c=B, a.b=C, a.d=A₁, b.d=B₁ e c.d=C₁. A figura representa pois um quadrilátero completo (4 retas e 6 pontos: (62,43))


[A.A.M.]

Considerem-se, para uma dada polaridade, a' polar de A passando por A₁ de a, e b' polar de B passando por B₁ de b. (A, A₁) e (B, B₁) são pares de pontos conjugados. Pelo teorema de Chasles, a polar de C encontra c=AB num ponto de A₁B₁=d, obrigatoriamente C₁=c.d, que é o mesmo que dizer que C é conjugado de C₁.
Ficou assim provado que
Se dois pares de vértices opostos de um quadrilátero completo são pares de pontos conjugados para uma dada polaridade, então o terceiro par de vértices opostos é também um par de pontos conjugados pela mesma polaridade, resultado conhecido por teorema de Hesse.

Determinar polar de X em (ABC)(Pp) - Método geral.

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Pela polaridade (ABC)(Pp), a polar de um ponto X (não incidente em AP, BP ou p) é uma reta x=X₁X₂ assim determinada
A₁=a.PX,   P₁=p.AX,   X₁=AP.A₁P₁
B₂=b.PX,   P₂=p.BX,   X₂=BP.B₂P₂



[A.A.M.] Consideremos os triângulos ABC auto-polar, PAX e pax em que p é polar de P, a polar de A e x polar de X (esta que procuramos determinar) Aplicando o teorema de Chasles, os triângulo PAX(amarelo) e pax são perspetivos:
Os seus lados AX, XP e PA encontram as polares p, a, x dos seus vértices em 3 pontos colineares: P₁=AX.p, A₁=XP.a e PA.x.
X₁= P₁ A₁. PA é um dos pontos em que incidirá a polar x de X.
De modo análogo, aplicando o teorema de Chasles a PBX (verde) e pbx, determinamos um outro ponto da polar x de X, X₂=(BX.p)(XP.b).PB

Esta construção falha quando X for um ponto de AP, pois então A₁P₁=AP e X₁ fica indeterminado. Mas X₂ pode ser determinado e a polar de X é A_pX₂ em que A_p=a.p. De modo análogo, quando X estiver em BP, a sua polar é B_pX₁
Para determinar a polar de um ponto X de p, podemos aplicar uma construção dual da que temos vindo a utilizar para determinar o polo Y de uma reta y que passe por X. Esta reta y pode ser qualquer exceto p ou PX (o mais conveniente é escolher y=AX ou, caso aconteça que esta coincida com PX, escolha-se y=BX). E a polar de X é x=PY.

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Para qualquer ponto X, não incidente em AP, BP ou p a sua polar (pela polaridade (ABC)(Pp) é x=[AP.(a.PX)(p.AX)][BP.(b.PX)(p.BX)] Um exercício interessante pode ser escrever a expressão (dual da anterior) para o polo X de uma reta x que não passe por A_p, B_p ou P e desenhar a figura que ilustre esta construção dual.