Determinação da polar de um ponto X em (ABC)(Pp)

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Na anterior entrada provou-se a polaridade (ABC)(Pp) em que ABC é um triângulo autopolar e em que p é uma reta que não passa por P nem por A, B ou C. Vamos determinar a polar de um ponto X qualquer não incidente em c nem em CP_c\{P}. Sejam A→a, B→b,C→c, P→ p os pares que definem a polaridade. A partir de P, determinámos P_a=a.AP, P_b=b.BP e P_c=c.CP. De modo análogo, a partir de X, determinamos X_a=a.AX, X_b=b.BX, X_c=c.CX. Sendo p a polar de P, determinámos A_p=a.p, B_p=b.p e C_p=c.p.
Para determinar a polar de X pela polaridade (ABC)(Pp), temos de determinar dois dos seus pontos A_x=a.x, B_x=b.x e C_x=c.x, pelas projetividades (BC)(P_aA_p), (AC)(P_bB_p) e (AB)(P_cC_p) aplicadas respetivamente a X_a, X_b e X_c. Determinamos x=A_xB_x.
[A.A.M.] A construção apresenta a determinação de dois deles, B_x e A_x, descrevendo a construção de B_x.
Pela projetividade (AC)(B_pP_b), determinar B_x como transformada de X_b :
a) A projetividade (AC)(B_pP_b) é tal que A→C →A e B_p→P_b→B_p que pode ser descrita como uma sequência de perspetividades, de centros Q, A e R assinalados na "figura" dinâmica. Tomamos um ponto R qualquer não incidente na reta b=AC e as retas AR, CR, B_pR. Em seguida tomamos uma reta que corta AR em T, B_pR em W e CR em Q. E finalmente a reta AQ que corta B_pR em Z. ACB_pP_b →^QZRB_pW→^AQTP_bW→^RCAP_bB_p
b) Para determinar B_x como imagem de X_b por (AC)(B_pP_b), sobre a construção desta tomamos a reta X_bT e a reta CW que se intersetam em G. A reta RG interseta b em B_x. Chamamos E a CG.RA e a X_bT.CR chamamos F.
Confirmemos a projetividade (P_bB_p)(X_bB_x).
Para isso, traçamos a reta X_bW que interseta RP_b em F e RB_x em Y e tomamos o ponto RB_x.P_bW=P₀
P_bB_pX_bB_x →^WP₀RYB_x →^P_bWFYX_b →^RB_pP_bB_xX_b
Do mesmo modo, se procedeu para determinar A_x e se procederia para verificar que (X_aA_x)(P_aA_p).
A polar de X é assim obtida x=A_xB_x.

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Pode deslocar o ponto X, bem como outros, para verificar que esta construção não falha para X a coincidir com P, a incidir em AP ou em BP, mas falha para pontos X≠P sobre CP e sobre c=AB. Apresentaremos um processo geral para determinar a polar de um ponto X na polaridade (ABC)(Pp) em que p é a polar de P não incidente em P.

Polaridade a partir de um triângulo auto-polar

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Mais do que uma vez, introduzimos ligações entre as palavras polar, polo e triângulos, de que são exemplos os artigos Polar trilinear de um ponto, Polar trilinear , Da polar trilinear para o pólo , etc. Polaridade trilinear pode já ter sido expressão utilizada. Essas expressões e, em particular, a polaridade trilinear introduzida não é uma polaridade, no sentido de que não é uma correlação projetiva que faz corresponder a cada ponto (reta) uma só reta (ponto), tal que se X tem por polar x, x tem por polo X e preservando a incidência.

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Vamos agora provar que
Qualquer correlação projetiva que relacione cada um dos três vértices de um triângulo com o seu lado oposto é uma polaridade
Considere-se a correlação ABCP→abcp, em que a, b, c são os lados de um triângulo ABC e P é um ponto distinto dos vértices do triângulo. E seja p uma reta que não passa por qualquer dos vértices do triângulo.
O ponto P e a reta p determinam 6 pontos sobre os lados do triângulo P_a=a.AP, P_b=b.BP, P_c=c.CP, A_p=a.p, B_p=b.p, C_p=c.p A correlação, transformando A,B,C em a,b,c, transforma a=BC em b.c=A, b=AC em a.c=B, c=AB em a.b=C, AP em a.p=A_p, BP em b.p=B_p, CP em c.p=C_p.
Claro que transforma o triângulo (cada vértice no lado oposto, cada lado no vértice oposto) como uma polaridade.
Falta ver que, para além de transformar P em p, também transforma p em P.
A correlação transforma cada ponto X de c numa certa reta que interseta c em Y. Como se trata de uma correlação projetiva, X e Y são projetivos. Quando X é A, Y é B e quando X é B, Y é A. Dito de outro modo a correlação transforma A em B e B em A. Já que a correlação transforma P_c=c.CP em CC_p, como vimos para A e B, P_c→C_p e C_p→P_c. A correlação transforma ainda C_p=c.p em CP_c=CP. E do mesmo modo, a correlação transforma A_p=a.p em AP e B_p=b.p em BP. Finalmente, podemos concluir que esta correlação transforma p=A_pB_p=(a.p)(b.p) em AP.BP=P.

Ficou assim provado que a correlação ABCP→abcp é uma polaridade. De futuro, esta polaridade assim definida pode ser representada por (ABC)(Pp)