Polos e polares. Conjugados e auto-conjugados

---

Haverá limitações à ocorrência de auto-conjugados?
Demonstramos que
Uma reta que passa por 2 pontos auto-conjugados não pode ser auto-conjugada
Se uma reta a passar por 2 pontos auto-conjugados fosse conjugada de si mesma, teria de conter o seu polo A e pelo menos, um outro ponto B auto-conjugado. A reta polar de B conteria A e B e, por isso, coincidiria com a. Quer dizer que A e B teriam a mesma polar, o que é impossível já que a polaridade é uma correlação que associa a cada reta um só ponto e a cada ponto uma só reta.
E vamos demonstrar que
Uma reta não pode inicidir em mais que dois pontos auto-conjudados

Sejam p e q duas retas, passando por C, polares de 2 pontos auto-conjugados: P e Q. Chamemos c à reta que passa por P e Q, c=PQ.
Sobre p tomemos um ponto R, distinto de P e C. A polar r de R passa por P. E tomemos r.q=S que é o polo de s=QR.
T=r.s é o polo de t=RS.
B=t.c é o polo de CT=b que inerseta c em A, conjugado harmónico de B relativamente a P e Q.
O ponto B não pode coincidir com Q nem com P, pois se fosse B=Q, então teria de ser R=C e se fosse B=P, teria de ser S=C, r=p e R=P o que seria absurdo já que assumimos R distinto de P e de C. Como A≠B por serem conjugados harmónicos, B não é conjugado de si mesmo.

Como as polares de uma pontual formam um feixe de retas projetivamente relacionado com a pontual, cada ponto X em c, determina um conjugado Y em c que não é mais que o ponto em que a polar x de X encontra c
X→x→Y

Quando X=P, x=p e Y=P. P é um ponto invariante desta projetividade. Do mesmo modo, se prova que Q é um ponto invariante. Mas quando X é B, Y é um ponto distinto de A e, por isso, a projetividade não é a identidade. P e Q são os únicos pontos invariantes; ou seja P e Q são os únicos pontos auto-conjugados em c. Fica assim provado que c não pode ter mais que dois pontos auto-conjugados.

Correlação: Polaridade

---

Chamamos polaridade a uma correlação que transformando cada ponto A numa reta a', transforma esta reta a' no ponto A.
Dizemos de a' que é polar de A e que é o polo de a'.
Por esta correlação projetiva que preserva a incidência, a cada ponto de a' corresponderá como polar uma reta passando por A (polo de A') ou que se A é polo de a', é centro de um feixe das retas polares dos pontos de a'.
Como uma polaridade dualiza as incidências, sempre que A incide numa reta b, a polar a de A passa pelo polo B de b e, neste caso, diremos que A e B são pontos conjugados e que a e b são retas conjugadas. Quando A é um ponto da sua polar a, A é conjugado de si mesmo (ou auto-conjugado); A está sobre a sua polar a e a passa pelo seu polo A.
Haverá limitações à ocorrência de autoconjugados?
Demonstramos que
Uma reta que passa por 2 pontos autoconjugados pode não ser autoconjugada