Colineação perspetiva

Na construção que se segue, os dois triângulos PQR e P'Q'R' estão relacionados por uma perspetividade de centro O.
O Teorema de Desargues garante que esses triângulos são perspetivos em relação a uma reta o.
Será que esta perpetividade de centro O é uma colineaçao?
Usando o resultado sobre colineações projetivas entre dois quadriláteros, vamos provar que isso é verdade.
Como vimos no anterior artigo, há uma só colineação projetiva que transforma o quadrângulo DEPQ em DEP'Q'. Esta colineação projetiva transforma a reta o=DE em si mesma e a reta PQ em P'Q', deixa invariante o ponto o.PQ=F=o.PQ'. E, como aceitámos, se uma projetividade deixa invariantes três pontos de uma reta, então deixa invariantes todos os pontos da reta o. Para essa colineação projetiva, as duas retas PP' e QQ' são invariantes e incidem no ponto O, também ele invariante. O ponto R=DQ.EP é transformado em DQ'.EP'=R'. O dual do segundo axioma do artigo anterior "Se uma projetividade deixa invariantes cada uma de três retas passando por um ponto O, então qualquer reta passando por O é imagem de si mesma por essa projetividade", garante que para a projetividade DEPQ→DEP'Q', são invariantes todas as retas passando por O.
Do mesmo modo, a colineação projetiva que relaciona os quadrângulos EFQR e EFQ'R' para a qual E e F são invariantes transforma QR em Q'R' e a colienação projetiva que relaciona DFPR e DFP'R' transforma PR em P'R' e DF em si mesma.
Fica assim demonstrado que a perspetividade de centro O, a relacionar três retas que se inersetam duas a duas sobre retas do feixe de centro O, é uma colineação.

ilustração estática *.png a partir da construção dinâmica interactiva original realizada com Cinderella

Esta colineação relacionando dois triângulos perspetivos chama-se naturalmente colineação perspetiva.
O ponto O e a reta o, a partir dos quais os triângulos são perspetivos, tomam os nomes de centro e eixo da colineação perspetiva.

Colineações projetivas. Quadriláteros.

(1) A única projetividade que transforma quatro retas lados de um quadriátero completo em si mesmas é a identidade. Do mesmo modo, a identidade é a única colineação projetiva que transforma quatro pontos vértices de um quadrângulo completo em si mesmos.
Para este resultado ( e os outros, claro!) com quadriláteros convém ter presentes os seguintes axiomas
(a) Os três pontos diagonais de um quadrilátero completo nunca são colineares.
e
(b) Se uma projetividade deixa invariantes cada um de três pontos distintos sobre uma reta, então qualquer ponto da reta é imagem de si mesmmo por essa projetividade.

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(2)Entre quaiquer dois quadriláteros completos (ou quadrângulos) com os quatro lados (vértices) correspondentes por uma dada ordem, só há uma colineação projetiva que transforma um no outro.
Constrói-se.

ilustração estática *.png a partir da construção dinâmica interactiva original realizada com Cinderella

Notas de demonstração:
a) Exige-se uma dada ordem para os lados correspondentes para só termos 4 pares de pontuais projetivas que poderá verificar conduzem a uma única colineação (e evitar 24 possíveis combinações se não estabelecermos essa ordem).

b) Claro que podemos definir uma projetividade entre as pontuais DAF e D'A'F'e entre DCE e D'C'E' definidas na construção. Do mesmo modo, relacionaríamos CBF com C'B'F' e ABE com A'B'E'.
Tomemos agora uma reta a. E suponhamos que a=XY em que X está em DE e Y ou DF. As projetividades entre DAF e D'A'F' e entre DCE e D'C'E' determinam a'=X'Y', sendo DCEX e D'C'E'X' projetivos, bem assim DAFY e D'A'F'Y'.
Para provar que a correspondência entre a e a' é uma colineação, temos de verificar que relaciona pontos com pontos e de tal modo que a incidência seja preservada. Para isso, considera-se a como reta de um feixe de tal modo que X e Y sejam perspetivos. Por construção de a', temos que X' é imagem de X e Y' é imagem de Y por projetividade. E como D é o invariante para a perspetividade X→Y, D' é o invariante para a perspetividade X'→Y'.
Tal como a, a' também é uma reta de um feixe o que quer dizer que retas concorrentes são transformadas em retas concorrentes. Uma projetividade X→X' chegou para garantir uma transformação reta a reta e ponto a ponto que preserva a incidência: a→a' é uma colineação.

c) Preciso será ainda provar que esta colineação projetiva que leva de ABCDEF para A'B'C'D'E'F' é única, o que se faz por absurdo recorrendo ao resultado enunciado imediatamente antes deste.