Teorema de Pappus

Quando uma projetividade entre duas pontuais ou dois feixes é perspetividade

Uma projetividade relacionando duas pontuais sobre bases distintas é uma composta de duas perspetividades. Para quaisquer duas pontuais de 3 pontos sobre bases distintas, sabemos determinar as duas perspetividades que compostas são a projetividade pedida. Haverá projetividades que são perspetividades?
Vamos provar que: uma projetividade que faz corresponder a cada ponto de uma pontual um só ponto de outra pontual em base distinta é uma perspetividade quando e só quando o ponto comum às duas retas (bases das pontuais) é comum às duas pontuais e é imagem de si mesmo pela projetividade
Assim:
1) Uma perspetividade deixa invariante o ponto comum às duas retas.
2) Se uma projetividade relacionando duas pontuais sobre bases distintas transforma um ponto E de uma pontual em si mesmo como ponto da outra pontual, este ponto comum às duas pontuais é comum às duas retas. Dados A,B, E e A', B', E, a correspondência A→A', B→B' e E→E é uma projetividade que é também a perspetividade de centro O, com O=AA'.BB'.
[A.A.M]