Nota marginal sobre a palavra harmónico em uso

Coxeter recomendou que nos detivéssemos na geometria euclidiana por mais uns momentos e que tomássemos uma corda esticada OC e G, E de tal modo que 3.OG=2.OC e 5.GE=2.GC. Assim fizemos. Diz ele que se afinarmos a corda OC para a nota C (Dó), a corda OG ficaria afinada para dar a nota G (Sol) e a corda OE ficaria afinada para a nota E (Mi). Dó, Sol, Mi são as três notas do acorde da terceira maior: o intervalo entre a nota produzida por OC e a nota produzida por OG é uma quinta perfeita e o intervalo entre a nota produzida por OC e a produzida por OE é uma terceira maior.



Desenhámos em seguida um quadrilátero completo PQRS de tal modo que O=RQ.PS, E=RP.QS e G em RS. Verificámos que QP passa por C, o que significa que (OO)(EE)(GC) é um conjunto harmónico.
Deslocando o ponto R, pode verificar a relação H(OE,CG).
Fica-se a saber que a designação de harmónica que aplicamos a essa relação tem origem na harmonia da terminologia musical.

Conjugado harmónico de um ponto no infinito?

Notas
1. Referência a novos Axiomas: Sempre aceitámos a ideia de que os pontos diagonais de um quadrilátero completo formam um triângulo, ou seja, que não são colineares. Acrescentamos este resultado como axioma: Num quadrilátero completo, os três pontos diagonais nunca são colineares. Também é axioma a seguinte afirmação: Se quatro pontos distintos A, B, C, D forem tais que AB interseta BC, então AC interseta BD.
2. Na entrada anterior, introduzimos a noção de conjunto harmónico (AA)(BB)(CF), secção do quadrilátero completo por uma reta definida por dois pontos diagonais AB, no caso. À definição desse conjunto corresponde uma relação entre os pontos A,B,C,F que consiste em garantir que A e B são pontos diagonais de um quadrilátero completo e C e F serem os pontos em que os lados que passam pelo terceiro ponto diagonal incidem sobre a reta AB. Indistintamente escrevemos H(AB,CF) para nos referirmos ao conjunto harmónico ou à relação correspondente. Na altura, concluímmos também que, num conjunto harmónico (AA)(BB)(CF), F é determinado unívocamente por A,B,C no rasto do que tínhamos visto para a secção do quadrilátero completo por uma reta que não incidisse em pontos diagonais ou vértices do quadrilátero.
3. Na construção seguinte, apresentamos um quadrilátero completo PQRS em que A=PS.QR, B=PR.QS C=RS.AB e PQ.AB=F_∞. De facto, começámos por construir A, B, R e PQ a intersetar AB num ponto do infinito. Movimentando R e a reta PQ poderá observar que o conjugado harmónico de F_∞ é invariante, tal como se esperava ABF_∞ define univocamente C do conjunto harmónico (AA) (BB)(F_∞C). Será que pode conjeturar qual é a posição ou localização de C relativamente a A e B? (Pode deslocar A e B para ver se essa posição relativa se mantém invariante). Poderia provar a sua conjetura considerando os instrumentos da geometrias euclideana? Em termos de geometria projetiva, o que podemos fazer?