Conjugado harmónico de um ponto no infinito?

Notas
1. Referência a novos Axiomas: Sempre aceitámos a ideia de que os pontos diagonais de um quadrilátero completo formam um triângulo, ou seja, que não são colineares. Acrescentamos este resultado como axioma: Num quadrilátero completo, os três pontos diagonais nunca são colineares. Também é axioma a seguinte afirmação: Se quatro pontos distintos A, B, C, D forem tais que AB interseta BC, então AC interseta BD.
2. Na entrada anterior, introduzimos a noção de conjunto harmónico (AA)(BB)(CF), secção do quadrilátero completo por uma reta definida por dois pontos diagonais AB, no caso. À definição desse conjunto corresponde uma relação entre os pontos A,B,C,F que consiste em garantir que A e B são pontos diagonais de um quadrilátero completo e C e F serem os pontos em que os lados que passam pelo terceiro ponto diagonal incidem sobre a reta AB. Indistintamente escrevemos H(AB,CF) para nos referirmos ao conjunto harmónico ou à relação correspondente. Na altura, concluímmos também que, num conjunto harmónico (AA)(BB)(CF), F é determinado unívocamente por A,B,C no rasto do que tínhamos visto para a secção do quadrilátero completo por uma reta que não incidisse em pontos diagonais ou vértices do quadrilátero.
3. Na construção seguinte, apresentamos um quadrilátero completo PQRS em que A=PS.QR, B=PR.QS C=RS.AB e PQ.AB=F_∞. De facto, começámos por construir A, B, R e PQ a intersetar AB num ponto do infinito. Movimentando R e a reta PQ poderá observar que o conjugado harmónico de F_∞ é invariante, tal como se esperava ABF_∞ define univocamente C do conjunto harmónico (AA) (BB)(F_∞C). Será que pode conjeturar qual é a posição ou localização de C relativamente a A e B? (Pode deslocar A e B para ver se essa posição relativa se mantém invariante). Poderia provar a sua conjetura considerando os instrumentos da geometrias euclideana? Em termos de geometria projetiva, o que podemos fazer?

Dois novos axiomas: causas e consequências

Acrescentaremos novos axiomas à medida que for sendo necessário.
E é altura de introduzirmos dois novos axiomas. A saber:
1. Se quatro pontos distintos A, B, D, E forem tais que AB interseta DE, então AD interseta BE. Segue-se a figura dinâmica em que pode deslocar pontos e retas:

Este axioma aparecia como necessário para provar o Teorema de Desargues (caso não o tivessemos então considerado axioma).

2. Sempre aceitámos a ideia de que os pontos diagonais de um quadrilátero completo formam um triângulo, ou seja, que os três pontos diagonais de um quadrilátro completo nunca são colineares. Acrescentamos esse resultado sublinhado como axioma.
Decorre deste axioma que os conjugados harmónicos C e F são distintos, excepto no caso degenerado em que ambos coincidem com A ou coincidem com B.
Dito de outro modo: Se A, B, C são distintos, a relação H(AB, CF) implica que F é distinto de C.


Desloque C sobre AB, para verificar que F só coincide com C quando C coincide com A ou com B (o que só acontece com G em A ou B)

E assim, em consequência desse axioma, há pelo menos quatro pontos em cada reta, já que os três pontos diagonais não são colineares o que garante que F e C são distintos entre si e distintos de A e B.