Como já tínhamos visto, quaisquer cinco pontos A, B, C, D, E colineares podem sempre ser vistos como elementos pertencentes a lados de um quadrilátero. Para ver isso, basta desenhar um triângulo QRS cujos lados RS, SQ, QR passam por C, B, D. Estes lados podem ser quaisquer 3 retas não concorrentes em C, B, D. O quarto ponto P do quadrângulo pode ser obtido como intersecção das retas AS e ER e finalmente um ponto F colinear com os pontos A, B, C, D, E (de uma recta g qualquer que seccione os lados PS, QS, RS, QR, RP e PQ do quadrilátero: O conjunto de 6 pontos das intersecções de g com cada um dos respectivos lados do quadrângulo e de tal modo que os primeiros 3 pontos incidem em lados a passar por vértices enquanto que os restantes três pontos incidem respectivamente sobre lados opostos que fomam um triângulo. O que estamos agora a fazer é provar que se escolhermos diferentes triângulos QRS, o ponto F continua o mesmo.
Experimente deslocar qualquer dos pontos Q, R, S na janela de visualização inicial (do primeiro passo9.
[A.D.A.M.]
Para mostrar que F é determinado unicamentepelos pontos A, B, C, D, E, consideremos um outro quadrângulos P'Q'R'S' cujos primeiros cinco lados passam pelos mesmos cinco pontos em g - A, B, C, D e E - e de tal modo que os dois triângulos P'R'S' e PRS sejam perspectivos relativamente a g e sendo também perspectivos relativamente a um ponto O=RR'.SS' de PP'. De modo análogo, os triângulos perspectivos QRS e Q'R'S' relativamente a QQ' que passa pelo mesmo ponto O.
Podemos dizer, por isso, que PQRS e P'Q'R'S' são quadrângulos perspectivos. Por isso, os triângulos PQR e P'R'S', que são também pespectivos pela recta DE que é g. E que os lados PQ e P'Q' se intersectam com g no mesmo ponto F (como esperávamos).
