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Temos realizado construções dinâmicas (ou não) para ilustrar resultados
(resolver problemas) da geometria elementar. Recorremos para isso à
régua e ao compasso, no fundamental. Na geometria euclideana plana
estudamos propriedades dos pontos e retas de um plano que se mantêm
invariantes por transformações de semelhança. Começamos hoje a estudar
problemas e resultados da geometria projetiva plana que é o estudo das
propriedades que se mantêm invariantes pela projeção central.
Enquanto que na geomeria euclideana plana utilizamos o compasso no
transporte de segmentos, o que equivale a dizer que usamos a noção de
comprimento de um segmento, na geometria projetiva não considera
comprimentos.
F. Enriques resumia o ponto de vista destas geometrias, dizendo que "o
homem normal constituiu a geometria elementar" e que suprimindo "as mãos
desse homem, impedindo-o de medir as distâncias, ele é conduzido à
geometria projetiva".
A geometria projetiva é a geometria do que se vê. Quando olhamos para os
carris (paralelos) de um caminho de ferro, vemos que eles se encontram
num ponto. Quando avançamos, o ponto em que se intersetam avança. O
ponto de interseção afasta-se à medida que dele nos aproximamos. Na
geometria projetiva não há retas paralelas, há retas que se juntam num
ponto do infinito, a que também se chama ponto limite, ponto impróprio,
ponto ideal, etc.
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Para a geometria projetiva plana, as noções primitivas são as de
ponto, reta e incidência. As palavras
incidência, incidente, incide, incidem... são substituídas muito
frequentemente por outras expressões. Em geral, não dizemos "o ponto P
incide na reta r" e antes dizemos que "o ponto P pertence à reta r" ou
"P está sobre r" ou "P é um ponto de r", como também não dizemos "a reta
r incide no ponto A" e antes dizemos "r passa por A", etc. Para o plano
onde trabalhamos, usamos uma letra grega α, por exemplo, para os pontos
de α usamos letras maiúsculas A, B, C, ... e para as retas do plano α
usamos a, b, c, ...r, s, t,... Claro que também designamos por AB a reta
que incide nos pontos A e B. E se três pontos incidirem numa mesma reta,
diremos que os pontos são colinerares. Quando duas retas incidem num só
ponto comum, dizemos que as retas são concorrentes.
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Primeiro esboço de uma axiomática.
Consideremos um plano α de pontos P e uma família não vazia de
subconjuntos próprios não vazios de α a que chamamos retas. Os axiomas
de incidência que usamos, são:
Axiomas de incidência
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Dois pontos distintos de α pertencem a uma só reta
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Duas retas distintas têm um só ponto em comum
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Existem quatro pontos em α distintos dos quais quaisquer três
deles não incidem numa mesma reta
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Existem quatro retas distintas, das quais quaisquer três delas
não incidem num mesmo ponto
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Reparemos que os enunciados dos dois axiomas de cada linha são tais que
se num deles substituirmos ponto por reta e reta por ponto obtemos o
outro. Dizemos, por isso, que qualquer um dos enunciados é dual do outro
(o princípio da dualidade é fundamental na geometria projetiva
plana).
Observemos que, por haver uma família não vazia de retas do plano
α, os axiomas da primeira linha garantem que, no mínimo, há
dois pontos e, como as retas são subconjuntos próprios do plano, este
tem no mínimmo três pontos.
Claro que pode ser pouco interessante, o estudo das propriedades de uma
geometria tendo por base um conjunto de pontos que não seja infinito. À
medida que forem sendo precisas, incluiremos novas noções óbvias: feixe
de retas, triângulo, quadrângulo, hexágono, etc.
Referências:
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As Geometrias, Col. Saber, Pub Europa-América, Lx:
1960
Samuel, P.
Projective Geometry, Readings in
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The real Projective Plane, Cambridge University Press.
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Projective Geometry, Springer-Verlago. NY:1994
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Curso de Geometria Métrica, Gráficas S.A. Rodrigues San
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Izquierdo, F.
Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Dossat.
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Berzolari L.
Enciclopedia delle Matematiche Elementari e Complementi.
Ulrico Hoepli. Mlano:1949
Ryos de Sousa, J.
Lições de Geometria Projectiva. Porto Editora.
Porto:
