Problema de Hilbert e contra-exemplo.

Da lista de problemas apresentada por Hilbert durante o segundo Congresso II Congresso Internacional de Matemáticos que se realizou em 1900 (Paris) constava um problema sobre pavimentações:

Será verdade que qualquer pavimentação pura (monoedral, composta por polígonos congruentes) também admite que há uma simetria da pavimentação que leva de um ladrilho para qualquer outro?

Supostamente, Hilbert pensava que isso era verdade. Passados 35 anos alguém provou que não era verdade com um contra-exemplo em que o ladrilho era um polígono concavo.

E depois Kershner apresentou exemplos de pentágonos convexos que pavimentavam o plano e em que havia pares de ladrilhos, para os quais nenhuma simetria da pavimentação levava de um para o outro.

Apresenta-se a ilustração dinâmica de uma pavimentação em que deixamos as propriedades do ladrilho pentagonal (ferramenta geogebra e pavimentação feita por Mariana Sacchetti) e os quatro pentágonos de partida. Trata-se ainda de uma pavimentação periódica com translações associadas a dois vetores independentes).

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Pode deslocar o ponto verde e variar o tamanho dos ladrilhos.

Pavimentações e propriedades das suas simetrias

As pavimentações do plano construídas até agora são periódicas (admitindo simetrias de translação associadas a dois vetores independentes). Dada uma pavimentação regular ou semi-regular, ao seu grupo de simetrias correspondem pavimentações todas semelhantes a ela.
Destas pavimentações periódicas compostas por ladrilhos poligonais regulares em que cada lado de um polígono é comum a dois polígonos e cada vértice é vértice de pelo menos três polígonos, é interessante verificar como se relacionam ladrilhos, lados (ou arestas) e vértices.
Será que tomados dois vértices quaisquer de uma pavimentação, alguma das simetrias da pavimentação transforma um no outro? E que pavimentação terá simetria que transforma um lado noutro qualquer? Ou em que pavimentação haverá simetria que transforme um ladrilho noutro qualquer?
Será que tomados dois vértices quaisquer de uma pavimentação, alguma das simetrias da pavimentação transforma um no outro? E que pavimentação terá simetria que transforma um lado noutro qualquer? Ou em que pavimentação haverá simetria que transforme um ladrilho noutro qualquer?

Apresentam-se a seguir duas ilustrações dinâmicas. Na primeira, tomados quaisquer dois vértices (dois lados, dois ladrilhos), há uma simetria da pavimentação que leva de um para o outro.





Na segunda já não se pode verificar tanto até porque não há um só tipo de ladrilhos ou os ladrilhos não são todos congruentes. Mas nessa segunda ilustração tomados quaisquer dois vértices (dois lados, dois ladrilhos congruentes) uma das simetrias da pavimentação que faz corresponder a um deles o outro.

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Parece-nos imediato que estas propriedades se verificam em qualquer das 3 pavimentações regulares. Mas será que tal se passa nas semi-regulares?

1. Numa pavimentação semi-regular, dados dois vértices quaisquer há uma simetria da pavimentação que transforma um no outro daqueles vértices. (?)
   
2. Há uma única pavimentação semi-regular, em que há sempre uma simetria a transformar uma aresta em qualquer outra. Qual é?
   
3. Em qualquer pavimentação semi-regular, para quaisquer dois ladrilhos congruentes há uma simetria da pavimentação que transforme um no outro?