30.10.11

Os 17 padrões do plano: uma classificação muito usada

Há 17 padrões cristalográficos do plano. Em cada uma das 17 entradas (artigos) anteriores ilustrámos cada um deles com construções dinâmicas feitas em Geogebra, aplicação (de uso livre e livre de custos) recomendada no programa do ensino básico de matemática.

Esta entrada tem por objetivo único apresentar uma lista (tabela classificativa) que nos permita enumerar (distinguindo cada um) todos os 17 tipos. Assim:

Se o maior grau das simetrias de rotação do padrão do plano é:

  • 1 [360º - identidade(1)]
    • com simetrias de reflexão
      • e com simetrias de reflexão deslizante : cm
      • e sem simetrias de reflexão deslizante : pm
    • sem simetrias de reflexão
      • e com simetrias de reflexão deslizante: pg
      • e sem simetrias de reflexão deslizante : p1

  • 2 [180º - meia volta(2x180=360)]
    • com simetrias de reflexão
      • em duas direções
        • e com todos os centros de rotação sobre eixos de reflexão: pmm
        • nem todos os centros de rotação sobre eixos de reflexão: cmm
      • numa só direção: pmg
    • sem simetrias de reflexão
      • e com simetrias de reflexão deslizante: pgg
      • e sem simetrias de reflexão deslizante : p2

  • 3 [120º (3x120=360)]
    • com simetrias de reflexão
      • e com todos os centros de rotação sobre eixos de reflexão: p3m1
      • e nem todos os centros de rotação sobre eixos de reflexão: p31m
    • sem simetrias de reflexão: p3

  • 4 [90º (4x90=360)]
    • com simetrias de reflexão
      • com eixos de reflexão a intersetar-se a 45º:p4m
      • sem eixos de reflexão a intersetar-se a 45º: p4g
    • sem simetrias de reflexão: p4

  • 6 [60º (6x60=360)]
    • com simetrias de reflexão: p6m
    • sem simetrias de reflexão: p6


28.10.11

Para além das simetrias de translação, simetrias de reflexão, de reflexão deslizante e de meia volta



Na ilustração que se segue, mostramos a região fundamental (com todos os seus elementos) do trabalho para a nossa última das ilustrações dos 17 padrões cristalográficos do plano.



Neste caso, o motivo mínimo é o triângulo com um vértice assinalado a verde e todos os tipos de simetrias do padrão estão no losango cinzento: as diagonais a cheio são os espelhos perpendiculares, os lados não aparecem como tal e não têm qualquer papel, para além de termos tomado os vetores (um a verde -u- outro a vermelho-v-) das translações com as suas direçoes e comprimento. Os pontos a cheio sobre os espelhos são centros de meias voltas (compostas de reflexões de eixos perpendiculares). Os segmentos a tracejado correspondem a reflexões deslizantes (composta de .5(u+v) com o espelho vertical e de .5(u-v) com o eixo horizontal) e os pontos abertos sobre estes segmentos tracejados são centros de meias voltas que não estão sobre espelhos e resultam da composição de reflexões deslizantes de eixos perpendiculares. Claro que também a identidade está sempre presente, embora já nem nos referiramos a ela.
Fica assim bem claro que para a produção da ilustração deste grupo de simetrias do plano não usámos mais que o motivo mínimo e como transformações geradoras as reflexões relativas às diagonais e as translações associadas aos vetores combinações de u e v. Podia ser de outro modo, mas realçamos os dois espelhos mm que vão aparecer na classificação.
Com os seus espelhos perpendiculares e translações o padrão pmm é muito parecido, mas então não partimos de uma região fundamental rômbica e é, por isso, radicalmente diferente deste. Todos os centros das meias voltas em pmm estão sobre eixos de reflexão.
Esclarecemos assim que a (unidade mínima ou) região fundamental e o motivo mínimo determinam cada um dos padrões do plano (ou grupos de simetrias planas) que têm em comum a existência de translações associadas a dois vetores independentes.
Na ilustração dinâmica que apresentamos a seguir pode reproduzir passo a passo a construção, clicando sobre as teclas $>>$ para andar para a frente ou $<<$ para andar para trás que aparecem ao fundo. No fim terá interesse movimentar o motivo mínimo para obter diferentes (con)figurações(?), o que é muito divertido. Com as cautelas ou a compreensão sobre as alterações que provoca e as nossas quase óbvias limitações de construção, pode mudar a região mínima e ver o que acontece.... A classificação deste grupo de simetria é
cmm