Para além das simetrias de translação, simetrias de reflexão, de reflexão deslizante e de meia volta

Na ilustração que se segue, mostramos a região fundamental (com todos os seus elementos) do trabalho para a nossa última das ilustrações dos 17 padrões cristalográficos do plano.



Neste caso, o motivo mínimo é o triângulo com um vértice assinalado a verde e todos os tipos de simetrias do padrão estão no losango cinzento: as diagonais a cheio são os espelhos perpendiculares, os lados não aparecem como tal e não têm qualquer papel, para além de termos tomado os vetores (um a verde -u- outro a vermelho-v-) das translações com as suas direçoes e comprimento. Os pontos a cheio sobre os espelhos são centros de meias voltas (compostas de reflexões de eixos perpendiculares). Os segmentos a tracejado correspondem a reflexões deslizantes (composta de .5(u+v) com o espelho vertical e de .5(u-v) com o eixo horizontal) e os pontos abertos sobre estes segmentos tracejados são centros de meias voltas que não estão sobre espelhos e resultam da composição de reflexões deslizantes de eixos perpendiculares. Claro que também a identidade está sempre presente, embora já nem nos referiramos a ela.
Fica assim bem claro que para a produção da ilustração deste grupo de simetrias do plano não usámos mais que o motivo mínimo e como transformações geradoras as reflexões relativas às diagonais e as translações associadas aos vetores combinações de u e v. Podia ser de outro modo, mas realçamos os dois espelhos mm que vão aparecer na classificação.
Com os seus espelhos perpendiculares e translações o padrão pmm é muito parecido, mas então não partimos de uma região fundamental rômbica e é, por isso, radicalmente diferente deste. Todos os centros das meias voltas em pmm estão sobre eixos de reflexão.
Esclarecemos assim que a (unidade mínima ou) região fundamental e o motivo mínimo determinam cada um dos padrões do plano (ou grupos de simetrias planas) que têm em comum a existência de translações associadas a dois vetores independentes.
Na ilustração dinâmica que apresentamos a seguir pode reproduzir passo a passo a construção, clicando sobre as teclas $>>$ para andar para a frente ou $<<$ para andar para trás que aparecem ao fundo. No fim terá interesse movimentar o motivo mínimo para obter diferentes (con)figurações(?), o que é muito divertido. Com as cautelas ou a compreensão sobre as alterações que provoca e as nossas quase óbvias limitações de construção, pode mudar a região mínima e ver o que acontece.... A classificação deste grupo de simetria é cmm

Para além das simetrias de translação, simetrias de reflexão deslizante e de reflexão

No padrão do plano (papel de parede) que se segue, temos uma ilustração de um grupo de simetrias do plano em que, para além de simetrias de translação associadas a combinações lineares de dois vetores (v e w) de diferentes direções e de comprimentos iguais - losango, usámos a reflexão relativa à diagonal menor e uma reflexão deslizante com a mesma direção da diagonal menor (no caso paralela tirada pelos pontos médios dos lados do losango).
O motivo mínimo é

Sobre o papel de parede

• podemos ver um ponto verde que lhe permite obter diversas ilustrações do mesmo padrão (deslocando só o motivo mínimo).
• um botão clik que ao ser clicado, mostra vetores das translações sobre os lados do losango, o vetor a amarelo tracejado associado à reflexão deslizante e, a cheio, o espelho da reflexão todos eles associados a simetrias do padrão plano.

Repare-se que o vetor u da reflexão deslizante não tem a direção de v ou w, embora tenha a direção de alguma das combinações de v e w, v-w. E também que a reflexão deslizante tem eixo paralelo ao do espelho da reflexão. Se os eixos fossem concorrentes, as compostas seriam rotações. Este padrão não admite pois simetrias de rotação (para além da trivial identidade). Os outros padrões do plano que não admitiam simetrias de rotação já foram todos ilustrados em entradas sucessivas. Foram eles p1, pm e pg. Este é um caso diferente destes e, tendo simetrias de reflexão (m) e de reflexão deslizante (g) com eixos paralelos é completamente diferente de pmg que, ainda que podendo ser gerado pelas mesmas isometrias, admite simetrias de rotação. Este é classificado classificado diferentemente como

cm


Parece-nos que a ilustração mais adequada para este diferente tipo de papel de parede reside na construção do telhado tendo para motivo mínimo a meia telha

que apresentamos a seguir e em que, usando os botões de navegação ao fundo, pode seguir o processo utilizado