Grupo de simetrias gerado por translação e reflexão vertical

Na abordagem de grupos de simetrias infinitos que são ilustrados por repetições periódicas de algum motivo numa direção (horizontal, por facilidade), temos apresentado diferentes ilustrações (ou composições), as transformações geométricas geradoras de cada grupo de simetrias e mesmo o conjunto dessas transformações. Antes do friso que ora apresentamos, as transformações geométricas mobilizadas foram translações, meias voltas, reflexões associadas a um eixo horizontal e reflexões deslizantes associadas a um eixo e vetor com a mesma direção horizontal. Apresentamos agora um friso que corresponde a um grupo de simetrias gerado por uma translação t associada a um vetor u (horizontal) e uma reflexão v relativamente a um espelho (v) de direção (vertical) perpendicular à do vetor associado à translação.
Pode acompanhar-se, por uso de botões de navegação, a criação da composição a partir de um d(=t⁰(d)), t¹(d), t^-1(d), t²(d), t^-2(d), etc e depois um primeiro b(=v(d)=v(t⁰ (d))), v(t¹ (d)), etc.

O grupo das simetrias ilustrado neste friso é pois {tⁿ | n∈Ζ} ∪ {tⁿ.v | n ∈Ζ}.



pm11

Grupo de simetrias gerado por reflexão deslizante e meia volta ou...

Temos vindo a apresentar diversos tipos de frisos que vamos classificando de acordo com as transformações usadas para os gerar - translações, rotações de meia volta, reflexões relativas um eixo e reflexões deslizantes (tomamos a horizontal como direcção de desenvolvimento do friso). Vamos indicando, para cada um, a classificação generalizadamente considerada, que se associa a cada tipo de friso e, no seu conjunto, esgotam os 7 tipos de frisos diferentes existentes. Alguns destes frisos podem ser obtidos, obviamente, de modos diferentes usando transformações diferentes. Temos vindo a indicar os grupos de simetria associados a cada friso.

O friso, cuja construção a seguir se ilustra, é gerado por uma reflexão deslizante - g - e uma meia volta - r - de centro no bem visivel rombo verde. O grupo das suas simetrias respectivo é {gⁿ | n ∈ Ζ} ∪ {gⁿ.r | n ∈ Ζ}, em que g⁰ é a transformação identidade.
Ao ver a construção passo a passo, a partir do g⁰(d)=d inicial, verá g¹ (d), g^-1(d), g²(d), g^-2(d), etc e depois g¹.r (d), g^-1.r(d), g².r(d), g^-2.r(d), etc.






Este tipo de friso também pode ser gerado por uma reflexão deslizante - g - e uma reflexão vertical - v : {gⁿ | n ∈ Ζ} ∪ {gⁿ.v | n ∈ Ζ. Pode seguir a construção passo a passo do mesmo modo, agora por esta ordem: g⁰(d)=d, g¹ (d), v.g¹ (d), etc



pma1, fora dos quadros classificativos de
Dorothy Washburn and Donald Crowe. Symmetries of Culture:Theory and Practice of Plane Pattern Analysis. U.W. Press, Seatle:1988