Grupo de simetrias gerado por reflexão deslizante e meia volta ou...

Temos vindo a apresentar diversos tipos de frisos que vamos classificando de acordo com as transformações usadas para os gerar - translações, rotações de meia volta, reflexões relativas um eixo e reflexões deslizantes (tomamos a horizontal como direcção de desenvolvimento do friso). Vamos indicando, para cada um, a classificação generalizadamente considerada, que se associa a cada tipo de friso e, no seu conjunto, esgotam os 7 tipos de frisos diferentes existentes. Alguns destes frisos podem ser obtidos, obviamente, de modos diferentes usando transformações diferentes. Temos vindo a indicar os grupos de simetria associados a cada friso.

O friso, cuja construção a seguir se ilustra, é gerado por uma reflexão deslizante - g - e uma meia volta - r - de centro no bem visivel rombo verde. O grupo das suas simetrias respectivo é {gⁿ | n ∈ Ζ} ∪ {gⁿ.r | n ∈ Ζ}, em que g⁰ é a transformação identidade.
Ao ver a construção passo a passo, a partir do g⁰(d)=d inicial, verá g¹ (d), g^-1(d), g²(d), g^-2(d), etc e depois g¹.r (d), g^-1.r(d), g².r(d), g^-2.r(d), etc.






Este tipo de friso também pode ser gerado por uma reflexão deslizante - g - e uma reflexão vertical - v : {gⁿ | n ∈ Ζ} ∪ {gⁿ.v | n ∈ Ζ. Pode seguir a construção passo a passo do mesmo modo, agora por esta ordem: g⁰(d)=d, g¹ (d), v.g¹ (d), etc



pma1, fora dos quadros classificativos de
Dorothy Washburn and Donald Crowe. Symmetries of Culture:Theory and Practice of Plane Pattern Analysis. U.W. Press, Seatle:1988

Grupo de simetrias gerado por uma reflexão deslizante

Na construção que apresentamos a seguir, o friso de duas filas de RRR(erres) corresponde a um grupo de simetrias gerado por uma reflexão deslizante g, associada ao eixo de reflexão a e ao vector v. Clicando no botão 'reflexão deslizante' pode ver o espelho (a) e o vetor (v) a ela associados. Clique depois em 'deslocar para ver a simetria' (por translação e ver a composição que a simetria reflexão deslizante é neste friso) e faça deslizar o ponto verde, que aparece destacado, segundo u=2v. Lembramos que g.g=t_u.

O ponto negro que sempre esteve visível permite modificar a "figura friso" mantendo o mesmo grupo de simetrias



p1a1, a de alternate

O conjunto de simetrias deste friso é {gⁿ | n ∈ Ζ} em que g representa a reflexão deslizante.

Notas: Sobre a reflexão deslizante, aconselhamos a leitura das entradas, de 2009, neste blog, sobre os deslocamentos rígidos do plano. Particularmente:
sobre a reflexão deslizante e as compostas de translações com reflexões, de um modo geral;
sobre as compostas de reflexões com translações equivalentes a compostas de translações com reflexões.