Borboleta, de novo

Na entrada A borboleta de 25 de Junho do ano passado, escrevia-se:

Tomem-se A,B,C e D sobre uma circunferência de centro O e de tal modo que AC intersecte BD num ponto P. A perpendicular a OP tirada por P intersecta BC e AD em M e N, respectivamente.
Porque é que |MP|=|NP|?

A Mariana reencontrou o problema durante a leitura de um livro de divulgação (Ruelle; O cérebro do matemático. Ciência Aberta. Gradiva), retomou a pergunta e procurou uma resposta diferente da indicada no livro. Aqui fica:

Relações métricas na circunferência - as secantes

Se por um ponto A, conduzirmos duas rectas a cortar uma circunferência, uma delas em B e C e a outra em D e E, verifica-se a igualdade
AB.AC=AD.AE
Pode deslocar A, para tomar diferentes pontos de partida (dentro, sobre e fora da circunferência) e B ou D para tomar diversas secantes a passar por A.


Claro que, para a demonstração, basta constatar a igualdade dos ângulos cada um a cada um dos triângulos ADC e ABE, como a figura bem mostra e saber que em triângulos semelhantes a razão entre lados opostos a ângulos iguais é constante.
Esta demonstração pode ser um bom exercício para os estudantes do 9º ano de escolaridade.

O resultado com A no exterior da circunferência já foi abordado em antigas entradas. Terá interesse específico abordar o recíproco: Se AB.AC=AD.AE , então B,C, D, E são pontos da mesma circunferência?